... è capitato, almeno una volta, di prendere un granchio. Nel 1769, forse frustrato dall'apparente impossibilità di dimostrare la celeberrima congettura scarabocchiata da Fermat sulla sua copia dell'Aritmetica, ne propose una generalizzazione, immaginando che per ottenere un'$n$-esima potenza intera da una somma di $n$-esime potenze occorressero almeno $n$ addendi. In sintesi, se $a_1,a_2,\ldots,a_k,b\,\in\mathbb N\setminus\{0\}$ e $n,k\ge2$,
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a_1^n+a_2^n+\ldots+a_k^n = b^n \;\Rightarrow\; k \ge n \;.
$$
La congettura resistette ai tentativi di dimostrazione o confutazione fino al 1966, quando Leon J. Lander e Thomas R. Parkin, sfruttando la potenza del "supercomputer" più potente dell'epoca (il CDC 6600), riuscirono a ricavare un controesempio per $n=5$:
$$
27^5+84^5+110^5+133^5=144^5
$$
(la verifica si può fare con una semplice calcolatrice scientifica). Il paper in cui comunicarono la loro scoperta è certamente tra i più brevi mai pubblicati:
(qualche informazione in più si può trovare qui).
Nel 1967 Lander e Parkin, assieme al più noto John Selfridge, proposero una nuova congettura, riassumibile con
$$
a_1^n+a_2^n+\ldots+a_k^n = b_1^n+\ldots+b_{\ell}^n \;\Rightarrow\; k+\ell \ge n \;.
$$
Dalla validità di quest'ultima seguirebbe, con $\ell=1$, che la congettura di Eulero varrebbe con la condizione $k\ge n$ rimpiazzata da $k\ge n-1$. Ciò è supportato anche dalla scoperta del 1988 di Roger Frye (menzionata in un lavoro di Noam Elkies), il quale riuscì a scovare un controesempio anche per $n=4$, con 3 addendi:
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95800^4+217519^4+414560^4=422481^4 \; .
$$
Si tratta del "più piccolo controesempio" per $n=4$, e quindi del più piccolo in assoluto: per $n=3$ la congettura di Eulero è una conseguenza immediata dell'intuizione di Fermat, nel frattempo promossa da congettura a Teorema (l'Ultimo Teorema di Fermat, o Teorema di Wiles).
