Settantasette

No, non si tratta del settantasettesimo post (è il 382esimo). E oggi non è nemmeno il mio settantasettesimo compleanno (se mai ci arriverò, mi manca quasi un quarto di secolo). Come appresi anni fa da un brano intitolato Urna, settantasette, nella smorfia napoletana, rappresenta le gambe delle donne (o, in alternativa, il diavolo). Ed è pure il numero dell'armadietto situato al terzo piano dell'edificio in cui insegno quest'anno (il cosiddetto Palazzetto delle scienze, brutalista e bruttarello) in cui conservo per lo più le bottigliette d'acqua minerale che trangugio per rimandare almeno di un po' la prossima crisi di calcoli renali (quella del matematico messo KO da un calcolo è una battuta che ho già ampiamente sfruttato). 

Settantasette è però anche il più grande numero non strettamente egizio (o strettamente non egizio?), cioè non esprimibile come somma di numeri differenti la cui somma dei reciproci è pari a uno. Quest'affermazione, curiosa anche se forse non proprio epocale, fa da incipit al paper intitolato A Theorem on Partitions, pubblicato dal celebre matematico e jongleur Ron Graham nel 1963 (le partizioni e le frazioni egizie furono un tema ricorrente nei primi lavori di Graham, discepolo prediletto del grande Paul Erdös). Strettamente egizio lo è ad esempio il numero $11$: difatti vale $11=2+3+6$, e

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1 \; .$$

Un piccolo trucco, documentato nel paper di Graham, permette di estendere la famiglia egizia: scrivendo

$$1 = \frac{1}2+\frac{1}{2} = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}$$

concludiamo che pure $24=2+2\cdot11$ è suddito di Cleopatra; analogamente lo saranno $50=2+2 \cdot 24$, e poi $104$, $210$ e così via (notando, tra l'altro, che nessuna delle estensioni produce partizioni non strette, cioè contenenti addendi ripetuti). Ciò permette di estendere ad libitum la famiglia. Ed è con una tecnica analoga che Graham dimostra l'egizità (si scriverà così? Non credo...) di ogni numero superiore a 77, partendo da una tabella invero piuttosto corposa, che non dev'essere stato facile produrre nel 1963 (ma forse i Bell Labs, presso cui era impiegato Graham, in un'epoca in cui le grosse aziende non disdegnavano la ricerca di base in matematica, disponevano di infrastrutture all'avanguardia).

Bello, ma mi era rimasto un dubbio: cosa succede prima del 78? Settantasette è un'eccezione? E quante ce ne sono? È abbastanza facile mostrare che il primo numero strettamente egizio è 11, dal momento che le partizioni strette dei numeri piccoli sono poche. Ma tra 11 e 24 la situazione si complica già considerevolmente. Non è difficile concepire un algoritmo che passi al setaccio tutte le partizioni di un numero, ma le mie limitate competenze informatiche mi avrebbero richiesto parecchio lavoro per la sua implementazione. Però queste cose chatgpt le sa fare benissimo: gli ho quindi chiesto di programmare in Python una procedura per costruire le partizioni di un dato numero, scartare a priori quelle con cifre 1 o cifre ripetute, ed elencare quelle che soddisfano il criterio. L'ho poi copia/incollata in un compilatore online (come questo)... et voilà:

Qui c'è l'elenco completo delle partizioni fino a $n=89$; tra 11 e 24 non ce ne sono, e effettivamente 77 non ne possiede.