Quatuor

Il Quatuor pour la fin du temps per violino, violoncello, clarinetto e pianoforte è certamente uno dei brani più celebri e iconici del repertorio cameristico novecentesco. Composto da Olivier Messiaen mentre era prigioniero nel campo di concentramento di Görlitz, fu eseguito per la prima volta (sempre a Görlitz) il 15 gennaio 1941, con lo stesso Messiaen al pianoforte.

Nel 2016, per celebrare il 75esimo anniversario dalla prima esecuzione, il videoartista Simon Russell realizzò, con la consulenza di Marcus du Sautoy, vecchia conoscenza di questo blog, un cortometraggio basato sul primo degli otto movimenti del Quatuor, Liturgie de cristal. Eccolo.

Alcune delle peculiarità della composizione di Messiaen (che anche in altre occasioni fece sfoggio delle sue competenze matematiche per mezzo della sua musica) vengono illustrate da Du Sautoy in un suo vecchio blog. In particolare, ma non solo, è interessante l'uso che fa dei numeri primi 17 (per la melodia) e 29 (per l'armonia) per scandire i tempi nella parte del piano, in modo tale da evitare ripetizioni all'interno del brano. Questo fatto viene ripreso dal matematico e divulgatore inglese anche in un articolo più recente, qui.

Firth of Fib

A quanto pare il terzo brano del quinto album dei Genesis, Firth of Fifth (gioco di parole basato sull'idronimo Firth of Forth, il nome dato all'estuario del fiume Forth, non lontano da Edimburgo) fu composto dal tastierista Tony Banks tenendo presente la successione di Fibonacci, che ne caratterizza la durata degli assoli. Me ne sono ricordato iniziando la lettura del settimo romanzo che Ian Rankin ha dedicato al tormentato ispettore Rebus, che si apre proprio con una scena d'azione ambientata sul Firth.

Ascoltiamolo, senza pensare troppo alla matematica...

Un po' di musica (e poca matematica)

Forse la matematica c'entra solo fino a un certo punto, ma il compositore del secondo brano, Federico Agnello, ha dichiarato di essersi ispirato, nel suo brano un po' cervellotico ma a suo modo estremamente interessante, a non ben definiti rapporti numerici, menzionando Leonardo Da Vinci (forse si riferiva all'Uomo di Vitruvio, che alcuni considerano uno studio dei rapporti aurei nelle proporzioni umane?).

Forse però questo concerto l'ho postato solo perché, da qualche parte in mezzo all'orchestra, fa la sua particina anche il sottoscritto... Buon ascolto, ne vale la pena.

Würfelspiel

Il problema di Stockhausen mi pareva un po' estremo per presentare qualche idea combinatoria ad una classe composta da studenti che hanno scelto l'indiritto musicale. Ho quindi optato per qualcosa di decisamente più semplice: il cosiddetto Würfelspiel, un semplice algoritmo concepito

Attribuito (non con certezza assoluta) a Mozart, lo spartito (scaricabile ad esempio qui) consiste di due griglie che alle somme dei punteggi in un doppio lancio di dadi (da 2 a 12, quindi) fanno corrispondere valori numerici tra 1 e 176, corrispondenti a 176 diverse battute da concatenare secondo la sequenza degli esiti.
Il Würfelspiel può essere sperimentato online, ad esempio qui; il toolkit Verovio permette anche di eseguire e stampare i brani scaricati (funziona abbastanza bene con Chrome ma non con Safari, ma a dire il vero le battute prodotte qui sono 17 (anche se la 17esima sembra essere sempre la stessa), e non vengono eseguite nella giusta sequenza, "saltando" la ripetizione.

Con 16 misure da comporre, ognuna delle quali selezionabile in 11 modi, il totale dei Walzer generabili con questo algoritmo raggiunge il ragguardevole numero di
$$
11^{16} = 45\,949\,729\,863\,572\,161 \cong 4,59 \cdot 10^{16}
$$
(45 milioni di miliardi). Ma gli esiti non sono tutti ugualmente frequenti: dal momento che in un doppio lancio la somma 7 (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) è 6 volte più probabile delle somme 2 (1+1) e 12 (6+6), il walzer

(ottenibile con una sequenza di soli esiti 7), è
$$
6^{16} = 2\,821\,109\,907\,456 \cong 2,82 \cdot 10^{12}
$$
volte (quasi tremila miliardi) più probabile dei $2^{16}=65536$ brani ottenibili con gli esiti 2 e 12, ad esempio questo (soli esiti 2):

e questo (soli esiti 12):

Un Mozart aureo?

 

Sono stati in molti, l'ho già scritto, a scandagliare la musica per mezzo della sezione aurea, o addirittura a utilizzarla esplicitamente all'interno delle composizioni (vedi ad es. qui e qui). Nel suo articolo The Golden Section and the piano Sonatas of Mozart (leggibile qui; JSTOR non permette lo scaricamento, ma concede 100 visualizzazioni mensili gratuite), il matematico e insegnante statunitense John Putz prende in esame alcune Sonate per pianoforte del genio salisburghese, indagando il rapporto numerico tra le durate della prima parte (l'esposizione), di durata $a$, e la seconda (sviluppo e ricapitolazione), di durata $b$. Un grafico a dispersione (scatter plot) delle variabili $a$ e $b$ rivela un'intrigante regolarità:

Tale regolarità sembra ancor più evidente utilizzando le variabili $b$ e $a+b$:

In entrambi i casi, la crescita sembra piuttosto lineare, e una semplice regressione rivela un coefficiente angolare molto vicino a $\varphi=\frac{1}{\phi}=1-\phi \cong 0.62$ (nel primo caso $0.6260$, nel secondo $0.6091$). Sembrerebbe quindi che Mozart, che una certa propensione per la matematica effettivamente l'aveva, abbia più o meno consapevolmente abbellito alcune sue composizioni impiegando la sezione aurea. Ma è lo stesso Putz a metterci in guardia, da un lato mostrandoci come vincoli ragionevoli sulle durate $a$ e $b$ non conducano lontano da $\frac{a}{b}=\varphi$, dall'altro insegnandoci come "barare" per mezzo della relazione, valida se $0\le a \le b$,
$$
\left| \frac{b}{a+b}-\varphi \right| \le \left| \frac{a}{b}-\varphi \right|
$$

che ci suggerisce che, per convincere il pubblico del fatto che il rapporto tra due grandezze $a$ e $b$ è aureo, converrà sempre esibire $\frac{b}{a+b}$ piuttosto che $\frac{a}{b}$.
 

Metaraga

Un sistema che "utilizza metodi e idee di Grothendieck per fondere gli apparentemente disparati apparati concettuali della musica orientale e occidentale utilizzando le progressioni microtonali del blues e del jazz americano, assieme ad un campionario di nuove tecniche per superarne le divisioni". Questa è la descrizione che il matematico e musicista Purnaprajna Bangere dà (qui) del suo approccio alla musica.

Certo, la mia prima reazione è stata "ma che cosa si è fumato questo?". Ma Bangere può vantare credenziali di tutto rispetto: come musicista, ha studiato presso un vero e proprio guru della musica indiana, e come ricercatore ha al suo attivo un buon numero di pubblicazioni in uno degli ambiti più astratti e tecnicamente impegnativi dell'intera matematica (parlo per esperienza diretta...). Anche se come insegnante non riscuote consensi proprio unanimi...

Il primo album realizzato da Bangere assieme al suo Purna Loka Ensemble prende il titolo proprio dal suo approccio musicale. Devo dire di averlo trovato interessante. Forse non semplicissimo, ma di certo degno di nota. Eccone un estratto; l'emblematico titolo (in italiano, sizigia) è un bizzarro termine utilizzato nell'ambito dell'algebra dei moduli, dove identifica un particolare tipo di relazione lineare, che Arthur Cayley prese in prestito dal gergo dell'astronomia.

... ma non è tutto aureo quel che luccica

Non sono stati in pochi, negli ultimi decenni, a dedicarsi ossessivamente alla ricerca della sezione aurea nelle espressioni artistiche più disparate, e in particolare nell'architettura, nella musica e nelle arti figurative. Fra i lavori maggiormente citati vi è l'articolo del musicologo Allan W. Atlas Gematria, Marriage Numbers and Golden sections in Dufay’s "Resvellies vous", pubblicato nel 1987 su Acta Musicologica. Il riferimento è ad una celebre chanson in forma di ballade del compositore quattrocentesco Guillaume Du Fay (o Dufay), Resvellies vous et faites chiere lye, eseguita per la prima volta il 18 luglio del 1423, in occasione delle nozze, celebrate a Rimini, di Vittoria di Lorenzo Colonna e Carlo Malatesta:

 

(la composizione più celebrata di Guillaume Du Fay è probabilmente il mottetto Nuper rosarum flores, dedicata alla Cattedrale di Santa Maria del Fiore in occasione della sua consacrazione, il 25 marzo del 1436).

L'autore, dopo aver identificato tutta una serie di corrispondenze numerologiche, improvvisa una discutibile definizione della sezione aurea (in cui omette gli aspetti geometrici, che nel '400 sarebbero stati preponderanti), applicandola in seguito all'analisi del brano. La sua conclusione è che Dufay avrebbe situato i passaggi più significativi tenendo conto dei numeri di Fibonacci, il cui rapporto, come si sa, fornisce approssimazioni vieppiù precise del valore di $\phi$ (essenzialmente, quello che Eric Whitacre ha fatto 500 anni più tardi, vedi qui). Bello, no? 

No. È un'altra musicologa, Ruth Tatlow, a smontare pezzo per pezzo il castello costruito da Atlas, nel saggio The Use and Abuse of Fibonacci Numbers and the Golden Section in Musicology Today, pubblicato nel primo numero del web journal Understanding Bach. In particolare, è praticamente impossibile che Dufay fosse a conoscenza della relazione tra sezione aurea e numeri di Fibonacci: è sì vero che questi ultimi furono descritti dal matematico pisano duecento anni prima, ma non si ha traccia di intuizioni che li colleghino a $\phi$ prima degli ultimi decenni del '500. Il salto dai conigli alla musica, insomma, ai tempi di Dufay non sarebbe stato plausibile ancora per un paio di secoli. 

La Tatlow chiama golden numberism la propensione a trovare la sezione aurea ovunque la si cerchi. E ciò non succede solo in musica: ad esempio, Manuel Bastioni, qui e qui, prova a confutare la tesi secondo cui la sezione aurea abbia avuto un ruolo nella costruzione della piramide di Cheope. E non è per niente chiaro se i famosi rettangoli di Piet Mondrian siano stati veramente concepiti come rettangoli aurei (anche se questo lavoro sembra suggerirlo). 

Interessante la conclusione della Tatlow: golden numberism has thoroughly infected musicology. There is a cure.

... e in musica

Da oscura figura di strano matematico (almeno per chi matematico non è), a poco a poco il timido Srinivasa Ramanujan si sta trasformando una sorta di icona culturale. Sono oramai parecchi i volumi, i film e perfino i brani musicali che gli sono stati dedicati. Per quanto riguarda l'aspetto musicale, probabilmente la composizione maggiormente degna di nota è il quartetto per archi in due movimenti The Ramanujan Notebooks, del compositore sudafricano-irlandese Kevin Volans, ispirato ai leggendari Taccuini del Matematico Indiano (raccolti e sviscerati in otto volumi da Bruce Berndt). Eccone il primo movimento:

(qui c'è il secondo).

Tosto, nevvero? Non per niente Volans è allievo di Karlheinz Stockhausen...

Rovistando in giro, si trova anche altro. Ad esempio un misterioso album opera di un'altrettanto misteriosa entità (gruppo? Compositore? Musicista?) nota come F of X, i cui titoli dei brani suonano particolarmente evocativi:

Oppure questa epica rock biografica, opera di un certo Mark Engelberg (il testo è qui):

Matematica... In Do

Ho già parlato in qualche occasione di musica minimalista o post-tale (qui, qui e qui), musica la cui architettura non può non stuzzicare la curiosità dell'appassionato di matematica. Il primo brano a cui è stata appioppata l'etichetta di minimalista è il leggendario In C, composto nel 1964 dal visionario musicista statunitense Terry Riley, che ha funto da ispirazione a generazioni di musicisti, non solo nell'ambito della musica "colta" (non è un caso che gli Who abbiano dedicato il titolo di uno dei loro brani più clamorosi per metà al loro "guru" spirituale Meher Baba e per metà proprio a Terry Riley - e l'incipit del pezzo non suona un po' minimalista?), 

Le istruzioni per eseguire il brano, il cui spartito consiste di una sola pagina su cui sono rappresentati 53 frammenti di durata variabile, sono abbastanza semplici: ogni musicista li esegue in ordine, ripetendoli più volte a piacere, senza allontanarsi troppo dagli altri esecutori; l'orchestra idealmente dovrebbe avere circa 35 membri, e la durata del brano dovrebbe essere compresa tra i 45' e l'ora e mezza:

Dicevo che una composizione di questo tipo non può non incuriosire chi si appassiona di matematica. In effetti, nel lavoro Three Mathematical Views of In C, presentato nell'ambito della conferenza Bridges 2014 (il cui scopo è lo studio delle interconnessioni tra matematica, arte, educazione e cultura), il fisico Donald Spector osserva matematicamente il brano di Riley addirittura da tre differenti punti di vista:

• interpretando la ripetizione di uno dei 53 frammenti come una dilatazione locale della linea musicale originale, l'esecuzione del brano da parte di ciascuno dei musicisti viene vista come un diffeomeorfismo con lo spartito originale (come se si trattasse di 53 brandelli di un elastico singolarmente allungabili);
• dal momento che la musica  eseguita da ogni singolo musicista rappresenta una funzione di un diverso cammino tra i 53 frammenti che compongono il brano, e l'effetto sull'ascoltatore è cumulativo, Spector intravede un'analogia con l'integrazione funzionale;
• infine, gli aspetti aleatori dell'esecuzione (vincolati, però, dalla condizione di non distanziare troppo le esecuzioni), che tra l'altro ricordano un po' questo, suggeriscono un'interpretazione nell'ambito degli automi a stati finiti, analogo al Game of Life inventato da John Conway.

Nei 56 anni dalla sua prima esecuzione, il brano di Riley è stato vivisezionato innumerevoli volte, vista la sua seminality; qui, ad esempio, se ne trova una descrizione molto accurata, addirittura con la possibilità di ascoltare singolarmente ognuno dei 53 frammenti e di sperimentare con la struttura del brano.

La prima, mitica registrazione di In C risale al 1968. L'ensemble è composto da soli 11 musicisti, con lo stesso Riley al sassofono. Ascoltiamola:

Molto carina è anche la versione registrata live dell'ensemble belga Ictus nel 2012; eccola su Spotify (per chi ce l'ha...):

E, per finire, qui ce n'è una versione elettronica, opera dell'autore della pagina citata sopra.

Perché dodici?

Ieri ho provato a spiegare, brevissimamente, il problema della scala musicale (essenzialmente, una potenza di 2 non è mai uguale a una potenza di tre) a una seconda scientifica, agganciandomi al fatto che nel temperamento equabile le frequenze delle note costituiscono una progressione geometrica. Non so se l'ho fatto in maniera efficace, ma per me è stata l'occasione di informarmi un po' più a fondo sulla questione. In particolare, ho finalmente capito come, analogamente a quanto si può fare con  il calendario, anche in questo campo le frazioni continue si possano rivelare uno strumento prezioso.

Ne riparlerò; nel frattempo, includo un filmato che mi pare spieghi abbastanza efficacemente, in modo intuitivo, di che cosa si tratta.

Deep field e sezione aurea

Deep Field è una monumentale composizione del pluripremiato musicista statunitense Eric Whitacre, dedicata ai successi del telescopio spaziale Hubble, e in particolare alle immagini Ultra Deep Field di galassie distanti miliardi di anni luce da noi (che rivelano, quindi, il loro aspetto in epoche prossime al big bang). Fa il suo effetto, specie se affiancata al video concepito dallo stesso Whitacre, che gioca con le immagini di Hubble per condurci attraverso l'impossibile magnitudine del nostro universo.

Atteggiamenti da rockstar a parte, Whitacre sembra un personaggio interessante. Nel video che segue illustra l'uso consapevole della sezione aurea nelle sue composizioni, dove spesso i passaggi più significativi sono situati temporalmente proprio tenendo conto di essa.

La musica è finita?

Vi sarà già capitato: ascoltate un brano, magari appena uscito, e improvvisamente un passaggio vi suona familiare. L'ultima volta mi è successo con il brano sanremese di Arisa, il cui ritornello non può non richiamare un celebre brano gucciniano. Ma la storia della musica è costellata da omaggi, richiami o veri e propri plagi, dall'ubiquità del Canone, all'uso consepevole del Rondò di Muzio Clementi, fino ai veri e propri plagi perpetrati da Ray Parker Jr. ai danni di Huey Lewis o dall'Innominabile (dopo il documentario HBO) ai danni della ex coppia d'oro. D'altronde, già una quarantina di anni fa Frank Zappa affermava che All the good music has already been written by people with wigs and stuff. 

A pensarci bene, le note sono soltanto sette (o, meglio 12), e quindi potrebbe sembrare plausibile che prima o poi le melodie si esauriranno. Si tratta, in fondo, di un problema combinatorio, ed è quindi inevitabile che qualche matematico un po' mattacchione ci abbia già pensato.

Nel video che segue il celebre youtuber Michael Stevens, il creatore di Vsauce, si sofferma proprio su tale questione. Dapprima illustra qualche calcolo sul numero dei possibili brani digitalizzati (concludendo che non li esauriremo mai), poi cita alcuni lavori che hanno studiato il problema su brani di lunghezza limitata (come questo), e anche in questo caso il conteggio propone numeri astronomici. Ma la parte più interessante del video è, secondo me, quella sull'uso del common metre (8/6/8/6) in musica, che ci permette ad esempio di cantare Amazing Grace sulle note di House of the rising sun, e che inevitabilmente ci farà provare una sorta di déja-entendu ogniqualvolta sentiremo un brano con una scansione simile. 

Sua maestà la matematica

Tra un episodio e l'altro di Breaking bad, l'altra sera ho dato un'occhiata allo speciale Majesty of Music and Math, prodotto dalla rete KBME, canale televisivo del Nuovo Messico affiliato al network PBS (la televisione pubblica statunitense). Alternando ascolti di brani celebri eseguiti dall'orchestra Filarmonica di Santa Fe (città non lontana dalla Albuquerque di Walter White) con spiegazioni teoriche di livello accessibile al grande pubblico, il matematico/informatico Chris Moore illustra tutta una serie di interconnessioni tra l'universo musicale e quello matematico.

Temperamento equabile?

Grazie alle (quasi) illimitate possibilità offerte da Spotify, poco fa ero alla ricerca di una versione del Wohltemperiertes Klavier da usare come musica di sottofondo. Basandomi sul primo Preludio, ho trovato un po' secca la versione di Glenn Gould e un po' troppo morbida e sfuggente quella di Maurizio Pollini. La versione del 1972 di Friedrich Gulda mi è parsa un buon compromesso (musicista eclettico e geniale; ricordo un suo concerto di parecchi anni fa all'Estival Jazz luganese).

I 48 preludi e le 48 fughe contenute nei due volumi del Clavicembalo ben temperato rappresentano una pietra miliare nella storia della musica occidentale. Nel corso del XX secolo i teorici della musica hanno a lungo dibattuto sul vero significato del termine "ben temperato"; in particolare, non è chiaro se il temperamento inteso da Bach fosse davvero quello equabile, basato su una progressione geometrica di ragione pari alla radice dodicesima di 2. Ma questa sembra essere l'opinione di Eugenia Cheng, matematica e pianista, che nel video che segue ci illumina un po' sulla questione.
La questione del temperamento, con particolare riferimento a Johann Sebastian Bach, è un argomento affascinante al confine tra musica e matematica. Qui è possibile leggere qualcosa in proposito. Qui, inoltre, si indaga sul temperamento equabile considerandolo dal punto di vista delle frazioni continue, metodo "universale" per ottenere buone approssimazioni razionali.

Cold mathematics making its move on me now

Carina, questa ballad intitolata semplicemente Mathematics, singolo d'esordio dei Cherry Ghost, gruppo indie rock capitanato dal cantautore Simon Aldred. La matematica c'è solo nel titolo, anche se a quanto pare Aldred l'ha studiata all'università di Leeds.

Keplero in (?) musica

Il trattatello di Keplero sui fiocchi di neve ha ispirato al fantomatico gruppo noto come Keplers Odd un omonimo album, per i miei gusti decisamente un po' estremo. Per chi ha Spotify, eccolo (tra l'altro, sarei curioso di sapere a cosa fanno riferimento i codici che identificano i brani):

tr

Il problema di Stockhausen

Bighellonando online, mi sono imbattuto nel saggio Combinatorial problems in the theory of music, pubblicato vent'anni fa su Discrete Mathematics dal matematico e compositore Ronald C. Read. Fra i problemi trattati, ce n'è uno che trovo particolarmente intrigante: in quanti modi può essere eseguito il Klavierstück XI di Stockhausen?

Karlheinz Stockhausen (1928-2007) è stato uno tra i più visionari e influenti compositori del XX secolo, grazie ad esempio al suo approccio pionieristico alla musica elettronica e alle tecniche compositive aleatorie. Ed è proprio a queste ultime che si rifà l'undicesimo Klavierstück, una delle prime "opere aperte" della musica occidentale: lo spartito si compone di 19 frammenti, disposti su un foglio di grandi dimensioni, in modo assolutamente non gerarchico:

I frammenti devono venire eseguiti in un ordine casuale, mai due volte di seguito e in modo tale che il brano si arresti non appena uno dei diciannove venga selezionato per la terza volta.

Applicando al problema tecniche piuttosto sofisticate di calcolo combinatorio (funzioni generatrici, in particolare), Read mostra che il brano può essere eseguito in

17423 935148332 958167310 127282862 901334594

modi (più di diciassettemila miliardi di miliardi di miliardi di miliardi); possiamo essere quindi ragionevolmente sicuri che, a meno di imbrogli, il Klavierstück XI non verrà mai eseguito due volte nello stesso modo.

Come gran parte della produzione di Stockhausen, il brano non è di facile ascolto. Eccone un'esecuzione da parte del pianista francese Pierre-Laurent Aimard:

Irriverente, ma in fondo un po' comprensibile, il primo commento apparso sul sito di YouTube: à l'entrée de la salle de concert, il y a des militaires armés pour empêcher les spectateurs de fuire.

Number theory

Per caso mi sono imbattuto in questo brano del songwriter statunitense Richard Potter, credo piuttosto sconosciuto. Il pezzo, musicalmente, è senz'altro divertente, un po' pulp fiction-esco, e la cover dell'album omonimo non può certo non attirare la nostra attenzione...

Non è brutto ciò che è brutto...

A quanto pare, è la ripetitività a rendere gradevole un brano musicale (basti pensare al Canone di Pachelbel o alla V Sinfonia di Beethoven...). Scott Rickard, nel suo intervento TED intitolato The world's ugliest music, cerca di dimostrarcelo componendo un pezzo dove, nella melodia e nel ritmo, le ripetizioni sono bandite. Non, intendiamoci, utilizzando il caso (come nella musica aleatoria), ma progettando a tavolino l'irregolarità per mezzo di strumenti matematici. E quindi mettendo in campo, paradossalmente, un bel po' di bella matematica per comporre una musica volutamente brutta.
Le componenti chiave per produrre tale brano sono due: le note vengono scelte con l'aiuto di una matrice di Costas 88x88 (come gli 88 tasti del pianoforte), una particolare matrice di permutazione corrispondente ad un insieme di punti su una griglia aventi distanze tutte differenti tra loro. E il tempo viene scelto sulla base di un regolo di Golomb, l'analogo unidimensionale delle matrici di Costas.

Il risultato è davvero brutto (anche se un orecchio poco allenato, come il mio, faticherà a distinguere la musica di Rickard da quella dei più arditi compositori contemporanei...).

Mathematics

Here be numbers transcendental,
on an imaginary axis spun,
decimal places without limit
and zero and one.

Mathematics,
simply pure beyond belief.

e to the power of i times pi plus one is zero
e to the power of i times pi plus one is zero
e to the power of i times pi is minus one
e to the power of i times pi is minus one

A single function, exponential,
just one addition must be done...
multiplication in completion
of zero, of one.

Mathematics,
just so "wow" it brooks belief.

(You'd better believe, you'd better believe it.)

Non hanno certamente sbagliato i Van der Graaf Generator, leggendario gruppo prog rock britannico, ad intitolare Mathematics un brano dedicato all'identità di Eulero, mirabile sintesi di analisi, algebra e geometria.  Il pezzo è contenuto nell'album A Grounding in Numbers, uscito il 14 marzo (e non è certo un caso) del 2011.

E se qualcuno volesse ascoltare ancora un po' di prog rock, qui ho raccolto qualche proposta.