Uno più due più tre più ecc. - Parte IV

Ecco una versione estesa del video di Numberphile da cui tutto ha avuto inizio. Tra l'altro, in esso si fa menzione del fatto che la "magica somma" 1+2+3+... ha qualcosa a che fare con le 26 dimensioni della versione originale della teoria delle stringhe.

Uno più due più tre più ecc. - Parte III

Sembra che la prodigiosa relazione

$$
1+2+3+4+5+\ldots = -\frac{1}{12}\;,
$$

contenuta negli appunti di Srinivasa Ramanujan inviati ad alcuni eminenti matematici inglesi nel 1913, da un lato lo allontanò dalla maggior parte di essi, che lo bollarono come un semplice crank, ma dall'altro suscitò l'interesse di Hardy, che invitò a Cambridge il "matematico indiano" dando vita ad una delle più singolari e proficue collaborazioni della storia della disciplina. Hardy seppe leggere al di là della lacunosa notazione di Ramanujan (la cui istruzione formale era alquanto limitata) per riconoscere nell'espressione il calcolo di $\zeta(-1)$, e quindi lo stadio embrionale di quella che oggi viene chiamata $\zeta$-regolarizzazione ("zeta-regolarizzazione"), un altro artificio, più potente di quello ideato da Ernesto Cesàro, per attribuire un valore sensato ad alcune serie divergenti.

Essenzialmente, ad una serie 

$$
A=a_1+a_2+a_3+\ldots=\sum_{n=1}^{\infty}a_n
$$

si associa la serie di Dirichlet

$$
\zeta_A(s)=\frac{1}{a_1^s}+\frac{1}{a_2^s}+\frac{1}{a_3^s}+\ldots
= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n^{s}}
$$

la quale, solitamente, definisce una funzione olomorfa solo in un semipiano del piano complesso, della forma $Re(s)>x_0$, ma può essere prolungata analiticamente quasi ovunque in $\mathbb C$, fatta eccezione per un polo da qualche parte. Si pone allora

$$
\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \zeta_A(-1)
$$

(dove con $\zeta_A$ si intende il suo prolungamento): abusando un po' della notazione (come d'altronde fece l'ingenuo Ramanujan) avremmo

$$
\zeta_A(-1) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n^{-1}}= \sum_{n=1}^{\infty}a_n
= a_1+a_2+a_3+\ldots
$$

Questo procedimento associa alla somma

$$
1+2+3+4+5+\ldots
$$

la più nota tra le serie di Dirichlet, ossia la funzione zeta per antonomasia,

$$
\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=
\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots \;,
$$

la quale, come mostrò Bernhard Riemann, possiede un prolungamento analitico sul piano complesso fatta eccezione per un polo di primo ordine per $s=1$. Tale prolungamento soddisfa (vedi qui, a pag. 91) l'equazione funzionale

$$
\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)
$$

che, curiosamente, mette in relazione il calcolo di Ramanujan con uno dei più famosi problemi del XVII/XVIII secolo, il problema di Basilea, posto da Pietro Mengoli nel 1644 e risolto da un certo Leonhard Euler nel 1735: ponendo $s=-1$ nell'equazione funzionale, si ottiene

$$
\zeta(-1)=\frac{1}{2\pi^2}\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\Gamma(2)\zeta(2) \;;
$$

noto che vale $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$ e che $\Gamma(2)=1!=1$ (la funzione gamma, studiata fra gli altri da Euler e Gauss, rappresenta un'interpolazione del fattoriale: $\Gamma(n)=(n-1)!$ per $n=1,2,3,\ldots$), per il fattore rimanente osserviamo che vale

$$
\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+
\ldots=\frac{\pi^2}{6}
$$

(questa è la soluzione del problema posto da Mengoli); vale quindi

$$
\zeta(-2)=-\frac{1}{2\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{6}=-\frac{1}{12} \;;
$$

in altre parole, il metodo della $\zeta$-regolarizzazione fornisce proprio la relazione

$$
1+2+3+4+5+\ldots = -\frac{1}{12}\;.
$$

Siedler

Forse a causa del centesimo episodio di BBT (che ho visto di recente), o forse perché i miei figli iniziano ad avere l'età per giocarci, negli ultimi tempi si è risvegliato il mio interesse per I Coloni di Catan (Die Siedler von Catan), il geniale german-style board game inventato nel 1995 dall'odontotecnico tedesco Klaus Teuber (che, nel frattempo, ha trasformato l'isoletta di Catan in un vero impero multimediale). Si tratta di un gioco da tavola dalle regole piuttosto semplici, in cui tre o quattro giocatori competono per la supremazia territoriale su un'isola investendo e commerciando in modo oculato le risorse naturali, la cui disponibilità è determinata dalla posizione degli insediamenti e dal caso. Il fascino del gioco risiede da un lato nella sua accessibilità (un "principiante" può essere immediatamente coinvolto), dall'altro, e soprattutto, nell'infinita possibilità di sviluppare strategie anche molto sofisticate. Inoltre, e ciò non guasta mai, una partita non si prolunga quasi mai per ore e ore.

Ovviamente, ma questo vale per ogni gioco da tavolo, Coloni possiede aspetti matematici tutt'altro che trascurabili. Tralasciando quelli, interessantissimi, legati alla teoria dei giochi, varrebbe la pena di menzionare almeno  quelli più elementari legati al calcolo delle probabilità, dal momento che da un lato gli esagoni che compongono l'area di gioco possono essere ricombinati casualmente a ogni partita, e dall'altro la redditività dei territori dipende dalla somma dei punti nel lancio di due dadi. Le probabilità di tali somme possono essere facilmente calcolate (espresse in 36esimi, esse sono pari rispettivamente a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 per gli esiti da 2 a 12), e sono tra l'altro evidenziate sui gettoni che contrassegnano i territori (anch'essi vengono disposti casualmente). Interessante la soluzione adottata nella versione inglese, che indica con dei "pallini" le rispettive probabilità; come viene spiegato qui, il valore di un insediamento può essere determinato sommando i "pallini" dei territori adiacenti.

Vista la popolarità di Catan, in rete non mancano le possibilità di approfondimento; ad esempio, un'analisi (a occhio e croce non particolarmente approfondita, però) del gioco può essere consultata qui.

Uno più due più tre più ecc. - Parte II

Torniamo alla sorprendente somma
$$
1+2+3+4+\ldots=-\frac{1}{12} \quad.
$$

Ovviamente essa non si concilia con la tradizionale interpretazione di "somma infinita" come limite della successione delle somme parziali, ove si definisce

$$
a_1+a_2+a_3+\ldots = \sum_{i=1}^{\infty}a_i=\lim_{n\to\infty}s_n
$$
con
$$
s_n = \sum_{i=1}^{n}a_i \quad.
$$

Esistono però altri modi di assegnare valori finiti a somme infinite, che generalizzano quello tradizionale, sacrificando la nozione di convergenza ma preservandone, entro certi limiti, la linearità (essenzialmente, $\sum(a_i+b_i)=\sum a_i + \sum b_i$ e $\sum(\lambda a_i)=\lambda\sum a_i$). Il più semplice è la Somma di Cesàro, dove al posto del limite delle somme parziali si calcola il limite delle medie di queste ultime: riciclando la notazione utilizzata sopra, si pone

$$
{\sum_{i=1}^{\infty}a_i} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}s_i \quad.
$$
L'esempio più sfruttato in questo ambito riguarda la Serie di Grandi
$$
1-1+1-1+1-1\pm\ldots \quad,
$$

che nella definizione tradizionale risulta divergente indeterminata (le somme parziali assumono alternativamente i valori 1 e 0), ma la cui somma di Cesàro ha valore $\frac12$: com'è facilmente verificabile, le medie delle somme parziali sono pari a

$$
1\,,\,\frac12\,,\,\frac23\,,\,\frac24\,,\,\frac35\,,\,\frac36 \,,\,\frac47\,,\,\frac48\,\ldots
$$

Tra l'altro, si otterrebbe il medesimo risultato anche calcolando tale somma come serie geometrica di ragione pari a $-1$. Tale risultato, come mostra il video di Numberphile, può essere utilizzato per dare un senso a

$$
s_1=1-2+3-4+5-\ldots \qquad:
$$
calcolando
$$
2s = s+s = (1-2+3-4+5-\ldots) + (0+1-2+3-4+\ldots) \\
= 1-1+1-1+ \ldots = \frac12
$$
si ricava
$$
2s=\frac12 \qquad s= \frac14 \quad,
$$
cioè
$$
1-2+3-4+5-\ldots = \frac14
$$

(Ramanujan, nei suoi appunti, impiega un altro approccio, utilizzando formalmente lo sviluppo della funzione $\frac{1}{(1+x)^2}$ con $x=1$). Da qui, se

$$
s'=1+2+3+4+5+\ldots
$$
"possiamo" scrivere
$$
s'-s = 1+2+3+4+5+\ldots -(1-2+3-4+\ldots) \\
= 0+4+0+8+0+12+ \ldots = 4s'
$$
e quindi
$$
s'-s=s'-\frac14=4s' \quad,\quad 3s'=-\frac14 \quad,\quad s'=-\frac1{12} \quad,
$$
cioè
$$
1+2+3+4+5+\ldots=-\frac{1}{12} \quad.
$$
Sfortunatamente, però, $1+2+3+\ldots$ non è nemmeno Cesàro-sommabile...

Minimal Criminal

Il Teorema dei quattro colori è piuttosto noto: "data una superficie piana suddivisa in regioni connesse, quattro colori sono sufficienti per colorarla in modo tale che regioni adiacenti abbiano colori diversi". Nel folklore matematico, esso è anche noto come "il primo enunciato dimostrato da un computer". Ma tale appellativo non rende certo giustizia ad un secolo e oltre di sforzi necessari a rielaborare il problema in modo da poterlo somministrare alla macchina.  Il libro Four Colors Suffice di Robin Wilson, professore emerito della Open University, rappresenta senz'altro un valido riferimento per chi voglia approfondire un po' l'argomento. Dalle prime formulazioni del problema, a metà dell'800, ad opera di Francis Guthrie, W. R. Hamilton (quello dei quaternioni) e del celebre logico Augustus de Morgan (quello delle omonime leggi, popolari ai tempi della "matematica moderna") alla presunta soluzione nel 1880 ad opera di Alfred Kempe, smontata dopo 11 anni da Percy John Heawood, dai contributi  per intrappolare in un ambito sempre più esiguo un "minimal criminal" (cioè una carta pentacromatica minimale) all'approccio innovativo di Heinrich Heesch (volto alla ricerca di un insieme inevitabile di configurazioni riducibili) fino alla frenetica competizione per colmare le ultime lacune della soluzione completa, caratterizzata da un uso sempre più spinto del calcolatore e vinta al fotofinish da Wolfgang Haken e Kenneth Appel, il libro di Wilson ci racconta un'appassionante avventura dell'intelletto, che dalla matematica pura sconfina sempre più nell'informatica, finendo per fornire uno dei risultati più celebri e controversi della scienza del XX secolo. In particolare, al di là della palese bruttezza della dimostrazione (non certo "from the book", per dirla con Paul Erdös), il risultato costrinse i matematici ad interrogarsi su cosa sia effettivamente un dimostrazione in matematica, dal momento che il lavoro di Haken e Appel (e di chi con loro collaborò, come John Koch) non potè (e non potrà mai) essere verificato senza l'ausilio del computer. Il libro di Wilson riesce, senza mai annoiare, a delineare in maniera convincente la concatenazione di idee che ha condotto dalla formulazione del problema alla sua risoluzione, evidenziandone da un lato gli aspetti tecnici salienti, dall'altro l'importanza sempre più centrale che tale problema, che originariamente non rappresentava nient'altro che una curiosità, ha assunto nel corso dei decenni, fino a diventare una preda ambita per una generazione di matematici rampanti. 

Per chi volesse approfondire l'argomento, in rete è disponibile una gran quantità di risorse. Qui si trova l'annuncio originale di Appel e Haken (pubblicato sul Bulletin dell'AMS); i papers originali (il secondo dei quali scritto con John Koch),  usciti sull'Illinois Journal of Mathematics, sono scaricabili qui e qui. Appel e Haken sono inoltre autori di un articolo divulgativo per Scientific American, tradotto in italiano su Le scienze 113. Lo trovate qui.