Matematica ecc.

Bad@$$ F#ck!n' Fractal

2012-01-08T11:28:00.001+01:00

L'insieme di Mandelbrot, l'inquietante struttura autosimile studiata negli anni '80 dal compianto Benoît Mandelbrot (1924-2010), rappresenta probabilmente il mio primo contatto con la matematica "vera": ricordo le ore di attesa per vederlo apparire sulla TV in bianco e nero che faceva da monitor al mio Commodore 64, sul quale avevo programmato un rudimentale algoritmo di visualizzazione con il famigerato Simons' Basic.

Alcuni mesi fa mi sono imbattuto in un simpatico omaggio a Mandelbrot e alla sua matematica, realizzato da tale Pisut Wissesing nell'ambito di un Workshop alla Cornell University:

L'autore delle musiche è Jonathan Coulton, cantautore indipendente e un po' geek che fa principalmente affidamento sulla rete per la diffusione e la vendita dei suoi lavori, concedendone gratuitamente l'utilizzo quali colonne sonore per video autoprodotti. Su YouTube se ne trovano in abbondanza; oltre a quello citato, ho trovato simpatici The Presidents (una lezione lampo di storia americana) e Ikea.

Un matematico in fattoria

2011-12-28T11:39:00.000+01:00

Avevo già sentito parlare del topologo polacco Karol Borsuk (1905-1982) in un paio di occasioni, come autore del problema a lui intitolato ("un sottoinsieme limitato S dell'n-spazio euclideo può sempre essere partizionato in n+1 sottoinsiemi di diametro inferiore a S?") e della congettura di Stan Ulam da lui dimostrata nel 1933 ("per ogni funzione continua tra la n-sfera e l'n-spazio euclideo esiste almeno una coppia di punti antipodali avente la stessa immagine"). Ma ignoravo che Borsuk si fosse distinto anche come inventore di giochi di società. In effetti, per sbarcare il lunario nel triste periodo dell'occupazione tedesca, ideò e commercializzò l'ingegnoso Hodowla zwierzątek, una divertente simulazione della gestione di una fattoria. Caduto nel dimenticatoio per decenni e ricomparso con il titolo Super Farmer (o anche Have you Herd?, in una variante semplificata per il mercato statunitense), il gioco richiede limitate competenze aritmetiche e gestionali e, soprattutto, una buona dose di fortuna (sono reduce da due sonore sconfitte ad opera di mia figlia, 5 anni...). Tra l'altro, esso si segnala anche per l'uso pionieristico di dadi a 12 facce, diventati poi standard nell'ambito dei Role-playing games.

Insomma un bel passatempo, pensato per i più piccoli ma divertente anche per i più grandicelli, dalle regole semplici e dallo sviluppo veloce (diciamo mezz'oretta per partita).

Numeri sottozero

2011-12-26T16:32:00.000+01:00

di Gianni Rodari (1920-1980),
da Filastrocche per tutto l'anno.

I numeri sottozero
sono molto importanti,
ma bisogna toccarli
solamente con i guanti.

Freddi, gelati, carichi
di neve e di ghiaccio,
sono numeri frigorifero...
Però a me non dispiacciono.

Se non ci fossero loro
non si andrebbe più a sciare
la slitta sarebbe inutile,
vietato pattinare.

Lo so, è triste la neve
per chi non ha un cappotto
quando il mercurio scende,
tocca lo zero e va sotto.

Quei numeri sarebbero
dunque cattivi e brutti?
Ma no, ma via: piuttosto,
diamo un cappotto a tutti.

Matematici a Brera - 2

2011-11-02T10:57:00.000+01:00

Cavalieri non è l'unico matematico commemorato nel cortile del Palazzo di Brera. Sul lato opposto, un po' nascosta dal Monumento al filosofo Pietro Verri, fa capolino il piccolo busto di Maria Gaetana Agnesi (1718-1799). Contemporanea di Eulero, di cui diffuse le scoperte nelle sue Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana (consultabili e scaricabili a partire da qui), la Agnesi rappresenta probabilmente la prima importante matematica dopo Ipazia di Alessandria, nonché la prima donna titolare di una cattedra universitaria.

Il nome della Agnesi è spesso associato alla versiera, una curva nel piano il cui caso più semplice è dato dal grafico della funzione

$$x \longmapsto y =\frac{1}{x^2+1}$$ (la derivata dell'arcotangente), che nei paesi anglosassoni assume il bizzarro nome di witch ("strega") of Agnesi. Tale bizzarria è dovuta ad un grossolano errore di traduzione: l'italiano versiera (nome attribuito alla curva sia per la sua somiglianza con la fune usata nelle virate, sia per l'uso del sinus versus nella sua parametrizzazione) fu confuso con avversiera ("avversaria" di Dio, cioè demonessa), associando così all'innocua curva il sinistro nome tuttora in uso.

Matematici a Brera - 1

2011-11-01T19:14:00.000+01:00

La scorsa settimana ho visitato l'incredibile Pinacoteca di Brera (merita un viaggio a Milano!). Prima di entrare nel museo vero e proprio, nel grande cortile, a sinistra dell'imponente Napoleone del Canova, è possibile ammirare il Monumento al Matematico Bonaventura Cavalieri, di Giovanni Antonio Labus, certamente non una delle opere più importanti della collezione ma senz'altro un degno riconoscimento al lavoro di uno dei più importanti matematici del '600.

Bonaventura Cavalieri (1598-1647) fu, fra le altre cose, un precursore del calcolo infinitesimale: il suo celebre principio (il metodo degli indivisibili) rappresenta infatti una tappa intermedia tra il metodo di esaustione utilizzato dai greci e il moderno calcolo integrale. Ma si occupò anche di ottica e di astronomia (e pure di astrologia), e a lui si deve l'introduzione nell'area italiana delle tavole logaritmiche.

Beutelspacher... live

2011-10-28T17:13:00.000+02:00

Albrecht Beutelspacher, l'autore del libro di cui ho parlato giusto ieri, è molto noto in Germania anche per le sue apparizioni televisive (dove, al contrario di qualcun altro, si limita a parlare della sua disciplina). In particolare, ha presentato sul canale educativo bavarese BR-alpha la trasmissione Mathematik zum Anfassen, composta da 28 brevi episodi di carattere divulgativo. Eccone un esempio, dedicato alla bellezza in ambito matematico:

F.A.Q. (ancora stuzzichini)

2011-10-27T13:21:00.001+02:00

Dopo Le meraviglie della matematica e Matematica da tasca il "divulgatore entusiasta e instancabile" Albrecht Beutelspacher ripropone la formula degli "stuzzichini" con Matematica: tutto quello che avreste voluto sapere, anch'esso pubblicato in edizione italiana da Ponte alle Grazie. Stavolta la forma è quella delle Frequently Asked Questions: i 101 brevissimi capitoli del libro sono proposti come domanda/risposta. Le domande spaziano da Cos'è la matematica? a Perché la matematica è così astratta?, da Che cos'è un googol? a Quanto varrebbe oggi un euro depositato in banca ai tempi di Cristo?, da La matematica è una scienza bellica? a Perché i matematici non sanno fare i calcoli?, da Perché meno per meno fa più? a È possibile dimostrare l'esistenza di Dio?. Le risposte, magari a volte un po' sbrigative e ridondanti ma mai banali, sono redatte nel consueto ed efficace stile beutelspacheriano, tra il finto-ingenuo e l'ironico, sempre in bilico tra il rigoroso e l'informale. Mi permetto di citare per esteso soltanto due perle: la prima, che conclude la risposta a I matematici necessitano di intuito e fantasia? è la frase con cui David Hilbert liquidò un ex assistente divenuto poeta: "tanto, per la matematica non aveva abbastanza fantasia". La seconda è un "buon" problema, proposto al Bundeswettbewerb Mathematik nel 2008: "Con dei fiammiferi di uguale lunghezza, Fritz ha formato i lati di un parallelogramma, nelle cui diagonali trovano posto esattamente 7 e 9 fiammiferi. Di quanti fiammiferi si compone il perimetro del parallelogramma?"

Tertium non datur

2011-10-18T03:14:00.000+02:00

Nella logica tradizionale, una proposizione o è vera, o è falsa. Questa affermazione, degna di Jacques de la Palice, ha in realtà un gran numero di conseguenze tutt'altro che banali in ambito matematico, specialmente per quanto riguarda le cosiddette dimostrazioni di esistenza. Giusto ieri, sfogliando distrattamente l'imponente Princeton Companion to Mathematics (ne parlerò ancora), mi sono imbattuto in un notevole esempio di questo fatto nell'ambito della teoria dei numeri: il problema della "produzione" di numeri razionali a partire da numeri irrazionali. Mi spiego meglio: è facile trovare due numeri irrazionali $a$ e $b$ la cui somma sia razionale (si pensi, banalmente, all'esempio $a=\sqrt{2}$, $b=-\sqrt{2}$) oppure tali che il loro prodotto sia razionale (ad esempio $a=b=\sqrt{2}$). Ma è tutt'altro che semplice esibirne due tali che la potenza $a^b$ lo sia: in effetti, studiare l'irrazionalità di una potenza è cosa tutt'altro che semplice. Ma non è difficile dimostrare l'esistenza dei numeri $a$ e $b$. Consideriamo a tal proposito il numero $\sqrt{2}^\sqrt{2}$: se esso fosse razionale, allora il problema sarebbe risolto ponendo
$$
(a,b) = \left( \sqrt{2},\sqrt{2} \right)
$$
(l'irrazionalità della radice di due era già nota ai pitagorici, e viene comunemente dimostrata già al liceo). Se, per contro, $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ fosse irrazionale, dal momento che
$$
\left(\sqrt{2}^\sqrt{2} \right)^\sqrt{2}=\sqrt{2}^{\sqrt2 \cdot \sqrt 2}=\sqrt2^2=2
$$
basterebbe porre$$(a,b) = \left( \sqrt{2}^\sqrt{2},\sqrt2 \right) \quad.
$$
Geniale, no?

In realtà, è la seconda versione ad essere corretta: $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ è irrazionale (addirittura trascendente) in virtù del teorema di Gelfond-Schneider, la cui dimostrazione diede, nel 1934, una risposta affermativa al settimo problema di Hilbert.

Formulaire -> Formulario

2011-10-17T16:23:00.001+02:00

Un po' di pubblicità. È in libreria, ormai da qualche settimana, Formulari e tavole, traduzione italiana (a cura della Commissione di matematica della svizzera italiana) del Formulaires et tables delle Commissioni romande di matematica, fisica e chimica. Tagliata su misura per il programma dei licei elvetici, l'opera mette a disposizione degli studenti italofoni uno strumento già usato e apprezzato da decenni dalle nostre parti. L'indice è consultabile qui.

La spirale sbagliata

2011-10-15T09:20:00.000+02:00

La scorsa settimana mi sono recato a Basilea, città ricchissima di arte, cultura e tradizioni. Tra un museo e l'altro (Beyeler e Tinguely, consigliatissimi), ho visitato l'imponente Vecchia Cattedrale (il Münster, oggi chiesa protestante), all'esterno della quale, non lontano da una terrazza con una spettacolare vista sull'ansa del Reno, si trova la lapide dedicata a Jakob Bernoulli. Jakob (1654-1704), fratello di Johann e zio di Daniel, fu il primo matematico di una famiglia che in pochi decenni ne avrebbe annoverati ben otto, monopolizzando per un secolo la prestigiosa cattedra basilese. È noto per essere l'autore dell'Ars Conjectandi (pubblicato postumo), di importanza fondamentale in ambito probabilistico, per i suoi studi sul numero e (sua è la "definizione", spesso sfruttata in ambito didattico, basata sull'interesse composto a capitalizzazione istantanea) e per la sua passione per la spirale logaritmica, che volle far scolpire sulla sua pietra tombale. Il motto che la accompagna, eadem mutata resurgo ("risorgo uguale eppure diversa") fa riferimento forse all'ubiquità di tale curva in natura, o forse piuttosto alle proprietà di auto-similarità della spira mirabilis. Proprietà che, purtroppo, non si evincono dalla spirale scolpita sulla lapide: difatti, l'ignoto autore del monumento, invece di una spirale logaritmica (dove i raggi crescono in progressione geometrica) scolpì una banale spirale archimedea (dove la progressione dei raggi è aritmetica).

All'incontrario

2011-09-19T22:03:00.000+02:00

Il percorso tradizionale dell'analisi liceale (numeri reali > limiti > derivate > integrali) procede a ritroso nel tempo: la definizione rigorosa di "numero" ha poco più di cent'anni, il concetto di limite ha avuto la sua sistemazione definitiva nella prima metà del XIX secolo, il calcolo differenziale nasce con Newton e Leibnitz (a cavallo tra il XVII e il XVIII sec.) e il calcolo integrale, per quanto riguarda aree e volumi, deve molto ad Archimede e al "metodo di esaustione" (III sec. a.C., ma anche prima).

Comunque, tale modo di procedere (che può essere fatto risalire almeno a Hardy e al suo classico A Course of Pure Mathematics) si giustifica pienamente: sono proprio le sistemazioni successive ad aver trasformato il calcolo infinitesimale nello strumento elegante e irrinunciabile che conosciamo ed apprezziamo.

Nel loro Analysis by Its History, Ernst Hairer e Gerhard Wanner, in controtendenza con la prassi didattica abituale, ci propongono invece di studiare l'analisi nella corretta sequenza temporale. Nella prima parte dell'opera, ci presentano quindi i risultati principali del calculus senza insistere sul concetto di limite, ragionando sugli infinitesimi con la stessa (geniale) spregiudicatezza con cui li trattavano Leibnitz e Eulero (da questo punto di vista, il presente post può quindi essere visto come un'ideale continuazione di questo). Più avanti, il testo si fa più tradizionale: ripartendo dal concetto di limite, la costruzione si avvicina decisamente a quanto normalmente proposto in un corso universitario. Ma anche qui non mancano le "chicche", come l'impressionante diagramma di flusso che descrive il percorso logico che dalla definizione di numero reale conduce al Teorema Fondamentale, o l'intrigante definizione di derivabilità data da Constantin Carathéodory, che non fa eplicitamente riferimento ad un passaggio al limite (ma nasconde tale operazione nella continuità di una funzione ausiliaria).

Lara Croft e i quaternioni

2011-09-18T20:46:00.000+02:00

"Well, Papa, can you multiply triplets?" Sembra che fosse questa la domanda con la quale i figli di Sir William Rowan Hamilton accoglievano il padre a colazione nei primi giorni dell'ottobre 1943. E pare che la laconica risposta fosse, inevitabilmente, "No, I can only add and subtract them". Qualche giorno più tardi, però, durante una leggendaria passeggiata lungo il Royal Canal, Hamilton si sarebbe reso conto che il problema andava riformulato per le quaterne di numeri reali. Il 16.10.1843 rappresenta quindi la data di nascita dei quaternioni, sistema numerico che amplia il campo dei numeri complessi, sacrificando l'assioma della commutatività per la moltiplicazione ma preservandone l'associatività. I quaternioni si imposero ben presto come un preziosissimo strumento in mano ai matematici: grazie ad essi, è ad esempio possibile fornire una dimostrazione sorprendentemente concisa del teorema dei quattro quadrati ("ogni numero naturale è esprimibile come somma di quattro quadrati di numeri interi").

Ma Hamilton non avrebbe mai immaginato che la sua geniale intuizione avrebbe avuto le sue applicazioni più spettacolari nell'industria dell'entertainment. In effetti, immergendo lo spazio tridimensionale all'interno dell'algebra dei quaternioni è possibile sfruttare le proprietà di questi ultimi per descrivere in un modo elegante e soprattutto efficiente le rotazioni attorno ad un asse, e quindi anche per cambiare in modo fluido il punto di vista in un videogame. Pionieri in questo senso sono probabilmente stati gli autori del primo Tomb Raider, che dal 1996 si avvalgono dell'algebra sviluppata da Hamilton per rappresentare le evoluzioni della procace Lara Croft.

BarLumi di matematica

2011-08-20T17:32:00.000+02:00

La briscola in cinque (Sellerio) è il titolo del primo romanzo di una (per ora?) trilogia di gialli del giovane autore toscano Marco Malvaldi. Il protagonista della vicenda, ambientata in un'immaginaria località della costa toscana, è il barista (o, meglio, "barrista") Massimo, investigatore suo malgrado, anche se spesso a rubargli la scena è il pittoresco quartetto di vecchietti che staziona in pianta stabile nel suo locale. Massimo, che ha potuto acquistare il bar grazie ad un'ingente vincita al totocalcio, è un ex ricercatore di matematica, e l'autore (a sua volta ricercatore, ma in biochimica) fa risaltare qua e là anche questo aspetto, lanciandosi addirittura, nelle ultime pagine, in una sommaria spiegazione del primo teorema d'incompletezza di Gödel, a dire il vero non del tutto convincente dal punto di vista formale (ma senz'altro adatta al contesto, dove un'erudita digressione avrebbe poco senso...). Credo però che all'autore si possa perdonare qualche piccola imprecisione, dal momento che il romanzo risulta decisamente godibile, in particolare grazie alla simpatica caratterizzazione dei personaggi.

Matematica mysteriosa

2011-08-16T18:39:00.081+02:00

Per qualche motivo, non sono mai stato un lettore assiduo di Martin Mystère, il popolare e longevo fumetto creato una trentina di anni fa da Alfredo Castelli. Ma, visto il titolo, non ho potuto fare a meno di andare alla ricerca del #230, La formula di Ramanujan, uscito nel 2001. Gli autori (Marco Abate ai testi, Paolo Ongaro ai disegni) mostrano di essersi documentati: l'albo in questione contiene una breve biografia del "matematico indiano", e alcune vignette sono ricalcate sulle fotografie classiche di Ramanujan e Hardy. La trama (gradevole, anche se alla fine deraglia un po') si incentra su un misterioso manoscritto perduto che conterrebbe la chiave per comprendere la realtà a livello quantistico, permettendo di manipolarla a piacimento (no comment...). Tra l'altro, Ramanujan non si è mai occupato di meccanica quantistica, anche se alcune tecniche di sua invenzione (come la sconcertante somma) trovano applicazione anche in questo campo. Inoltre, nel racconto si fa uso dell'algoritmo RSA decenni prima della sua scoperta (ma, in fondo, Ramanujan era un genio).

"Esiste la quarta dimensione?"

2011-08-13T17:27:00.002+02:00

" 'sore, esiste la quarta dimensione?" - chissà quante volte me lo sono sentito chiedere nel corso di qualche lezione, a proposito o a sproposito. Spesso abbocco, e riservo qualche minuto (o anche di più) all'argomento, iniziando solitamente dal significato che il verbo esistere assume in questo contesto. Poi, a beneficio degli studenti scettici sul fatto di poter dare un senso a qualcosa che non riusciamo a vedere (o forse traviati dalla banale geometria bi- e tridimensionale che propiniamo al Liceo), cerco di procedere per analogia ("alla Abbott"), descrivendo innanzitutto la percezione del mondo tridimensionale che potrebbe avere un essere confinato a due sole dimensioni. Oppure, pragmaticamente ("alla Von Neumann"), menziono qualche fenomeno su cui l'introduzione di dimensioni aggiuntive ha permesso di far luce.

Il libro La quarta dimensione di Rudy Rucker, recentemente tradotto da Adelphi, rappresenta un'ottima introduzione alla tematica delle dimensioni superiori. Rucker, matematico, filosofo, autore di punta del movimento cyberpunk (sua è la celebrata tetralogia -ware), attinge al suo enciclopedico bagaglio culturale per costruire un discorso che inizia con le già citate analogie, prosegue in modo leggermente più tecnico con alcune ipotesi sulla forma dello spazio e conclude con la sua personalissima nozione di realtà, con un discorso che si fa vieppiù filosofico (tra l'altro, Rucker è pro- pro- pronipote di Hegel).

Si tratta di un libro affascinante, sempre in bilico tra geometria e filosofia, che consiglierò senza riserve ai prossimi studenti che mi porranno la fatidica domanda.

Non vincerò la medaglia Fields

2011-08-02T17:08:00.001+02:00

Non esiste un premio Nobel per la matematica. Probabilmente, il chimico Alfred Nobel non aveva molto interesse per la materia, e non la considerava fondamentale per il progresso dell'umanità (esistono teorie più curiose in merito, che hanno però il valore di mere leggende metropolitane). Un paio di premi hanno però assunto di fatto il ruolo di "Nobel della Matematica": innanzitutto la medaglia Fields, assegnata ogni quattro anni in occasione del Congresso Internazionale di Matematica (ICM), e, da qualche anno, il premio Abel (che, nome a parte, più si avvicina in spirito al Nobel).

A contraddistinguere la medaglia Fields vi è il fatto che essa può essere assegnata, per regolamento, soltanto a ricercatori di età inferiore ai quarant'anni. Per tale motivo, a partire da oggi il mio sogno di vincerla (si fa per dire...) sfuma; anche se dovessi ricominciare a dedicarmi attivamente alla matematica, dimostrando magari la congettura di Riemann, i miei sforzi non potrebbero essere premiati con il prestigioso riconoscimento.

Vabbé, sarei in buona compagnia: tale sorte è toccata, fra gli altri, anche a Andrew Wiles...

La bat-equazione

2011-08-01T12:21:00.000+02:00

Seguendo un suggerimento di Cory Doctorow sul blog BoingBoing, ho provato a far disegnare a Maple la curva di equazione implicita

Ecco il risultato:

Serpenti, scale e catene di Markov

2011-07-21T08:53:00.001+02:00

L'altra sera, giocando in famiglia ad una versione del popolare Snakes and Ladders (o Chutes and Ladders, gioco di origine indiana) riflettevo sul fatto che esso è un esempio da manuale di catena di Markov. In effetti, considerando il percorso di un singolo giocatore, il movimento di una pedina dipende soltanto dall'ultima posizione assunta e dall'esito del lancio di un dado. Una rapida ricerca in rete mi ha poi condotto all'interessante articolo How long is a game of snakes and ladders?, apparso una ventina di anni fa sulla Mathematical Gazette (consultabile gratuitamente a partire da questo link), dove i tre autori (S.C. Althoen, L. King e K. Schilling) applicano tale modello probabilistico alla versione del gioco raffigurata in questo post, giungendo alla conclusione che il numero di lanci necessari a giungere alla meta è in media approssimativamente pari a 39. Si tratta senz'altro di un esempio didatticamente valido di applicazione della matematica ad un problema stimolante e concreto, che ben si abbina all'utilizzo del computer (indispensabile, dal momento che la matrice di transizione necessaria possiede quasi 100 righe e 100 colonne!).

Lamento decimale

2011-07-20T03:14:00.002+02:00

di Gianni Rodari (1920-1980),
da Filastrocche per tutto l'anno (Einaudi Ragazzi, 1980).

A destra della virgola,
cagion dei nostri mali,
noi siamo, ahi tristi, ahi misere,
le cifre decimali.

Numeri? Noi siam polvere!
Se in mille ci mettiamo
una sull'altra, è inutile,
l'unità non tocchiamo.

Della tribù aritmetica,
sí numerosa e varia,
siam certo i più poveri,
trattati come paria.

Centinaia, Decine
ci tengono a distanza:
- Quelli? Rottami, briciole,
cocci, roba che avanza...

Se uno scolar pietoso
la virgola cancella
salva noi, però in cambio
si gioca la pagella...

Cresswell... live

2011-07-19T03:14:00.002+02:00

Come spesso mi succede, leggendo il libro della Cresswell di cui ho brevemente riferito ieri ho cercato di farmi un'immagine mentale dell'aspetto e della voce della "scandalosa" autrice. Beh, non ce n'è bisogno: per chi fosse interessato, ecco un estratto da un'intervista incentrata proprio sul libro "Mathematics and Sex":

Vietato ai minori

2011-07-18T11:23:00.001+02:00

"Matematica e sesso". Non c'è che dire; un titolo così sugli scaffali di una libreria non può che stuzzicare la curiosità. E quindi anche il sottoscritto è caduto nella trappola tesa da Clio Cresswell, matematica, scrittrice, educatrice e presentatrice televisiva, che nel saggio in questione ci invita a "fare i conti con l'amore", descrivendo le attinenze tra il mondo delle relazioni matematiche e quello delle relazioni amorose. Il campionario di situazioni descritte dall'autrice è senz'altro interessante: giusto per citare un paio di esempi, potremmo menzionare le equazioni differenziali utilizzate per misurare l'attrazione del Petrarca per Laura o per rappresentare i livelli ormonali e le metriche a più dimensioni che valutano l'affinità tra due iscritti ad un'agenzia matrimoniale.

Il linguaggio utilizzato è scoppiettante e diretto (anche un po' troppo: espressioni come strategia delle dodici scopate francamente mi sembrano un po' eccessive, ma forse è un problema di traduzione). Ho trovato un po' inconsistente, però, l'apparato matematico del libro: sembra che la Cresswell utilizzi il formalismo matematico soltanto a scopo decorativo; è difficile, anche per un lettore moderatamente competente, vedere la relazione tra il testo e le formule, che per lo più vengono semplicemente riportate senza nemmeno chiarire il significato delle variabili (ma, forse, si tratta di un modo per stuzzicare la curiosità, invitando i lettori interessati ad approfondire altrove).

Epsilon e delta... in esilio

2011-06-30T09:34:00.000+02:00

Giugno, tempo di esami. Come ogni anno, passo in rassegna il mio piccolo repertorio di domande da porre ai Candidati alla Maturità. E, come quasi ogni volta, inevitabilmente scarto quelle che fanno riferimento alla definizione rigorosa di limite. Già, quella formulata definitivamente dal "padre della moderna analisi" Karl Weierstrass sulla base di intuizioni avute in precedenza da Bernhard Bolzano e Augustin-Louis Cauchy. La "definizione epsilon-delta", insomma, apparentemente ostica e artificiosa ma indubbiamente geniale nella sua sinteticità.

Va comunque detto che essa non è essenziale ai fini della comprensione del concetto di limite. In effetti, buona parte dei risultati più importanti nel campo dell'analisi la precedono: Newton, Leibnitz e perfino Leonhard Euler hanno utilizzato tale nozione in modo puramente intuitivo. E quindi, in ambito didattico, epsilon e delta possono tranquillamente essere introdotti in un secondo tempo. Ed è proprio per questo motivo che Serge Lang (figura di importanza fondamentale nella matematica del XX secolo, di cui dovrò prima o poi parlare), nel suo Classico A first course in Calculus (Springer 1986) li esiliò nell'Appendice alle prime quattro sezioni, a pagina 501, dopo aver sviluppato interamente il calculus a una variabile, invitando tra l'altro il lettore a "non prendere la cosa troppo sul serio, a meno di possedere una spiccata inclinazione per gli aspetti teorici". Se lo dice lui...

IL teorema

2011-05-09T21:41:00.000+02:00

La maggior parte di noi (matematici e, soprattutto, non) associa quasi automaticamente il sostantivo "teorema" alla figura di Pitagora di Samo. O forse, semplicemente al nome del matematico vissuto nel VI secolo a.C. Perché mi chiedo quanti, oltre a infliggere agli scolari infinite variazioni di "dati a e b, trova c", si prendano il tempo di illustrare almeno un pochino la storia del celebre enunciato e il significato che esso ha avuto per lo sviluppo del pensiero matematico.

Il libro The Pythagorean Theorem, di Eli Maor (l'autore di e: The Story of a Number) rappresenta proprio una scorribanda attraverso gli aspetti storici e applicativi del Teorema, partendo dalle scoperte dei matematici egizi e babilonesi (che, forse, ne conoscevano solo qualche caso particolare), e illustrando poi, tra le altre cose, i contributi della scuola pitagorica, di Euclide (che negli Elementi ne diede due diverse dimostrazioni, I 47 e VI 31), l'uso che ne fece Archimede per il calcolo di pi greco e le sue relazioni con il calculus e le geometrie non euclidee. Particolarmente stuzzicanti sono poi le curiosità che Maor ci propone, dall'enunciato che battezza piccolo Teorema di Pitagora ("la somma dei quadrati dei reciproci dei cateti è pari al quadrato del reciproco dell'altezza rispetto all'ipotenusa") alle 371 dimostrazioni raccolte da E. S. Loomis fino ad alcuni brainteasers decisamente stimolanti.

Un bel libro, insomma, per approfondire un argomento che tutti noi diamo un po' per scontato.

Tragedia di un dieci

2011-05-02T03:14:00.019+02:00

di Gianni Rodari (1920-1980),
da Filastrocche per tutto l'anno (Einaudi Ragazzi, 1980).

Fuggiva un giorno un Dieci,
pieno di trepidazione,
inseguito da un nemico
mortale: la Sottrazione!

Il poverino è raggiunto,
crudelmente mutilato:
ben due unità ha perduto,
un Otto è diventato!

Dalla padella cascando
nella brace, ecco qua,
incappa nella Divisione
che lo taglia a metà.

Ora è un misero Quattro,
malvisto dagli scolari.
- Consolati, - gli dicono,
- sei sempre un numero pari...

- C'è poco da consolarsi
la mia sorte è ben dura.
O incontro un'Addizione
o sarà... la bocciatura.

Cento!

2011-05-01T17:35:00.000+02:00

Proprio alle soglie del centesimo post, credo di aver sofferto di una sorta di "blocco del blogger". Non che i miei interventi siano mai stati frequentissimi, ma una pausa di quasi tre mesi non me l'ero mai concessa, nemmeno nei periodi più critici o intensi.

Di cose da scrivere ne avrei avute: non ho certamente smesso di interessarmi di matematica (e credo che mai smetterò), ma al momento di sedermi davanti alla tastiera mi sembrava di avere sempre altro da fare. Chissà, forse ero soltanto intimorito dalla soglia psicologica dei 100 interventi (che non sono poi moltissimi, in quasi quattro anni...).

Elementare, Watson...

2011-02-05T18:03:00.001+01:00

Il mio 2011 si è aperto all'insegna di Sherlock Holmes, il detective per antonomasia, nato nel 1887 dalla penna di Sir Arthur Conan Doyle. Ho iniziato con l'adrenalinico lungometraggio di Guy Ritchie, per proseguire con i tre episodi della recentissima versione della BBC (ambientata nella Londra contemporanea), il tutto condito dalla visione di qualche episodio del cartoon realizzato dalla RAI con Miyazaki e dalla lettura di un paio di memorabili racconti (dalla poco maneggevole edizione Newton Compton).

Assieme al fido Dr. Watson, il personaggio più noto tra i comprimari di Holmes è probabilmente il Professor James Moriarty. Considerato la nemesi "ufficiale" di Holmes, il sinistro "Napoleone del crimine" fu probabilmente creato da Conan Doyle con un solo scopo: quello di sbarazzarsi del detective, diventato con il tempo troppo ingombrante. Difatti, nel memorabile The final problem, Holmes e Moriarty precipitano lottando (almeno in apparenza) nelle cascate di Reichenbach (Doyle fu poi costretto a "resuscitare" il detective, mentre Moriarty venne ripescato soltanto da qualche autore "apocrifo").

Ma perché mi soffermo proprio sulla figura dell'inquietante professore? Beh, perché Doyle lo concepì come un professore di matematica, e gli attribuì perfino un Trattato sul teorema binomiale di rilevanza internazionale. Proprio a James Moriarty è dedicato un gustoso articolo sul numero natalizio del 1989 di New Scientist (leggibile online qui, grazie a Google Books), in cui l'autore, John F. Bowers, inserisce il "matematico dimenticato" nel contesto accademico ottocentesco, indicandolo come un allievo di Boole e Hamilton attivo nel campo della matematica applicata.

La passeggiata dei numeri

2011-01-12T16:51:00.001+01:00

di Gianni Rodari

Quando l'Otto a spasso va
con la dolce sua metà
sussurra una vocina:
- Otto e quattro, guarda, guarda...
Quella non è una coppia, è una dozzina!

Eh, ce n'è della gente
maldicente.
Ma l'Otto, zitto, bada ai propri affari
e non s'arrabbia: è sempre d'umor pari...

Già, guai se si arrabbiasse,
guai se saltasse
a destra di sua moglie:
scoppierebbe di botto
un Quarantotto.

Carina, no? Ai miei figli piace moltissimo...

Matematica di fine semestre

2011-01-07T17:14:00.003+01:00

Con l'avvicinarsi delle vacanze natalizie, il Liceo dove lavoro sembra trasformarsi in un enorme multisala: ogni aula provvista di beamer (oramai lo sono quasi tutte) diventa un piccolo cinematografo, nel quale vengono organizzate proiezioni non sempre, a dire il vero, in tema con i contenuti dei corsi. Per quanto mi riguarda, anche a costo di sopportare mugugni e malumori, ho sempre opposto una strenua resistenza. Quest'anno ho però iniziato a fare qualche concessione, naturalmente a condizione di poter selezionare personalmente il materiale da proiettare.

Ho quindi scelto di mostrare il primo DVD di una collana di recente uscita, Viaggio nella matematica, pregevole produzione BBC in 4 parti (il titolo originale è The story of Maths) concepita e presentata dal matematico e divulgatore Marcus Du Sautoy (ho già parlato di lui). Eccone la prima parte:

Il resto è visibile a partire da questo link (ma ne consiglio in ogni caso l'acquisto: lo spezzettamento in parti da 10' risulta piuttosto fastidioso, e inoltre non tutte funzionano a dovere).

Matematica daliniana

2011-01-06T16:10:00.000+01:00

Ieri ho fatto un salto a Milano, approfittandone per visitare la mostra Salvador Dalì: il sogno si avvicina, dedicata al rapporto tra l'artista catalano e il tema del paesaggio. Almeno tre, tra le opere esposte, rivelano l'interesse del surrealista pazzoide per la matematica:

Nel Volto della guerra (1940), l'auto-similarità di una struttura vagamente frattale (termine coniato alcuni decenni dopo l'esecuzione dell'opera) viene utilizzata per amplificare l'angoscia trasmessa dai volti umani deformati:

Nella Ricerca della quarta dimensione (1979), oltre all'orologio-camembert fanno bella mostra di sè due dodecaedri (figura utilizzata per conferire tridimensionalità anche ad uno dei più celebri dipinti daliniani, Il sacramento dell'ultima cena):

Nel Ratto topologico di Europa (1983) i riferimenti alla matematica sono molteplici: nell'aggettivo del titolo, nelle "formule" poste in basso e nella dedica a René Thom (1923-2002), esperto di topologia insignito della Medaglia Fields nel 1958. Forse le spaccature dipinte sulla tela evocano proprio il campo di studi inaugurato da Thom, la teoria delle catastrofi:

Tra l'altro, al termine della mostra è possibile ammirare il cortometraggio Destino, una collaborazione tra Dalì e gli studi Disney iniziata nel 1945 ma presto interrotta per mancanza di fondi, completata soltanto nel 1983 (visionabile, finché non la faranno sparire, anche da qualche parte su YouTube).

Icosaedro

2011-01-04T18:56:00.000+01:00

Qual è stata la parola più pronunciata a casa mia durante le Feste? Regali? Panettone? Auguri? No - icosaedro. Già, proprio così: il poliedro regolare con f=20 facce, v=12 vertici e e=30 spigoli (nel pieno rispetto della formula v-e+f=2). In effetti, Gesù Bambino (perché da noi passa lui, non il pancione della Cocacola) ha avuto l'ottima idea di lasciare sotto l'albero una generosa confezione di Geo mag (versione kids), con il quale il simpatico poliedro si lascia realizzare in un battibaleno (come mostrano orgogliosi i miei bimbi).

Si tratta, a tutti gli effetti, di un prodotto geniale, che permette da un lato di scatenare la fantasia e dall'altro di toccare con mano strutture geometriche che solitamente vengono soltanto visualizzate, quali ad esempio i solidi platonici o archimedei, investigandone nel contempo la stabilità, le simmetrie e le proprietà combinatorie.

Consigliatissimo, a casa e a scuola.

Matematica per tutti?

2011-01-03T18:04:00.001+01:00

"(...) quegli intellettuali che hanno un complesso di inferiorità per la loro ignoranza in matematica, farebbero bene a levarselo, imparandola. Invece quelli che non hanno un complesso di inferiorità, dovrebbero averlo - perché sono inferiori". Anche se, tolta dal contesto, l'affermazione sembra ben più categorica di quanto dovrebbe esserlo nelle intenzioni del suo Autore, essa ben illustra le premesse di Anche tu matematico, dell'ingegnere, scrittore e "futurologo" italiano Roberto Vacca. Indirizzato suprattutto ad un pubblico di intellettuali (categoria nella quale Vacca inserisce un ampio spettro di profili professionali, come avvocati, psicologi, registi, pierre, medici), il libro si propone di fornire una "chiara e facile introduzione alla scienza dei numeri" (come recita il sottotitolo). Partendo dalle basi del calcolo numerico e algebrico, l'autore ci accompagna in un percorso che si snoda dapprima attraverso i temi tradizionali della matematica liceale (geometria, calcolo infinitesimale, logaritmi, probabilità e statistica) per poi offrire alcune interessanti considerazioni a proposito dei suoi limiti (e degli abusi che se ne fanno) e, in quello che è senz'altro il capitolo più ostico e ambizioso, una rapida introduzione al problema dell'indecidibilità. Il libro si conclude con una sfida al lettore matematico, cioè con una congettura indimostrata al momento della pubblicazione (ma diventata ora un teorema, dimostrato da Franco Preparata, che di Vacca fu studente all'università di Roma).

Per i miei gusti, si tratta forse di un libro un po' "freddo" e tecnico, da cui traspare la formazione ingegneristica dell'autore (che, comunque, la matematica l'ha nel DNA: il padre di Roberto Vacca, Giovanni, fu assistente di Giuseppe Peano). Lo stile è senz'altro convincente (nonostante qualche piccola sbavatura formale) ma forse poco accattivante, anche se lo scopo che si prefigge il libro va al di là della semplice divulgazione. Lo consiglierei non tanto a chi è totalmente digiuno di matematica, quanto piuttosto a chi voglia rispolverare quanto appreso (o forse non appreso) nel corso degli studi liceali.

Carnevale... natalizio

2010-12-29T10:46:00.001+01:00

Riprendo a scrivere qualcosa dopo la pausa forzata dovuta ai consueti impegni di fine quadrimestre, che essenzialmente consistono nell'attribuzione dei voti (o delle note, come si dice da noi). Sono questi i momenti in cui mi trovo a dar ragione ad un amico Confederato, il quale afferma che se gli studenti facessero quello che ci si aspetta ragionevolmente da loro (cioè studiare) buona parte dei problemi della didattica si risolverebbero da soli.

Il tema di questo post è però un altro. Volevo in effetti segnalare (con un colpevole ritardo di due settimane) l'uscita del trentaduesimo Carnevale della Matematica, rassegna mensile di contributi a tema matematico inaugurata nel 2008 da Maurizio Codogno sul modello del Carnival of Mathematics statunitense. Autrice di questa edizione è Annarita Ruberto, entusiasta e competentissima autrice di ben 4 interessanti blogs dedicati alla matematica, al suo insegnamento e alla scienza in generale. Annarita ha scelto per questo mese un tema di sicuro interesse, la matofobia, sentimento diffuso ma di difficile comprensione per noi matofili (da non confondere, però, con il terrore che attanaglia lo studente impreparato alla vigilia di una prova scritta...).

Non dirò di più; andate a leggerlo (qui) e gustatevi con calma il Carnevale di dicembre e gli 84 articoli in esso menzionati, tutti di sicuro interesse.

Girasoli e libellule

2010-11-20T18:40:00.006+01:00

(Grazie a Christian per la segnalazione su FB).

Ho trovato molto carino il video Nature by Numbers, dell'illustratore e animatore iberico Cristóbal Vila (il suo portfolio virtuale è qui). Esso illustra alcuni aspetti del rapporto tra matematica e natura in un modo molto immediato e spettacolare (magari "barando" un po'...), in particolare per quanto riguarda i numeri di Fibonacci e la sezione aurea (temi classici, insomma) e le cosiddette tassellazioni di Voronoi. Suggestiva anche la colonna sonora "minimalista" del compositore belga Wim Mertens.

Non mi dilungo oltre. Il video vale veramente la pena di essere visto, magari in HD (peccato che Vila non ne permetta la visione su TV e iphone...). Sul sito dell'autore sono disponibili alcuni approfondimenti di carattere matematico (in inglese e spagnolo).

Shakuhachi

2010-11-15T08:17:00.001+01:00

All'entrata del mio studiolo mi trovo davanti gli scaffali con i libri di matematica "vera"; quelli, per intenderci, che rappresentavano il mio pane quotidiano quando mi occupavo di matematica ("vera", appunto) a tempo pieno. Fra di essi spicca il giallo delle costole dei GTM della Springer. A volte mi capita di sfogliarne uno; spesso si tratta del #52 della suddetta collana, Algebraic Geometry del matematico statunitense Robin Hartshorne. La copertina sbiadita, le pagine scollate e le macchie di caffè testimoniano il tempo che ho trascorso chino su di esso (e le innumerevoli volte che sono stato tentato di scaraventarlo fuori dalla finestra del mio ufficio al politecnico...). Il libro è del 1977 e rappresenta probabilmente tuttora il tentativo più riuscito di tradurre per il matematico "medio" i nuovi approcci alla geometria algebrica introdotti nel corso dei due decenni precedenti, in particolare per quanto riguarda il rivoluzionario linguaggio degli schemi sviluppato da Alexander Grothendieck e i metodi della coomologia che devono molto al lavoro di Jean-Pierre Serre. Si tratta del testo di riferimento standard nel campo algebro-geometrico, denso ad un punto tale che molti risultati importanti sono menzionati soltanto sotto forma di esercizi, che rappresentano un'ottima palestra per chi si vuole lanciare in una carriera accademica.

P.S. #1: questo non è un consiglio di lettura, ma piuttosto un nostalgico amarcord ispirato forse da questo uggioso tempo novembrino...

P.S. #2: il titolo è un insider joke, che capirà soltanto chi ha dato un'occhiata alla quarta di copertina del libro di Hartshorne...

La barriera del linguaggio

2010-10-28T21:34:00.001+02:00

La matematica, si sa, fa uso di un linguaggio tutto suo. In effetti, i concetti dovrebbero sempre essere illustrati in maniera precisa e priva di ambiguità. Ma vi è, a mio avviso, una soglia oltre la quale il linguaggio anziché favorire la comunicazione rischia addirittura di ostacolarla. È anche la tendenza all'uso di eccessivi barocchismi (tipica, ad esempio del linguaggio matematico italiano) a rendere talvolta la matematica inaccessibile ed antipatica (penso ad esempio all'inutile equipollenza).

La matematica spiegata alle mie figlie, del compianto Denis Guedj (ho già parlato di lui qui e qui) è proprio un tentativo di mostrare come sia possibile parlare di matematica evitando i tecnicismi. Strutturato come un dialogo fra un padre (Ray) e una figlia (Lola), il libro introduce in maniera informale (a volte, forse, un po' troppo) alcuni fondamentali concetti di aritmetica, algebra, geometria e logica. La particolare scelta stilistica fa sì che il discorso si sviluppi in maniera poco lineare, ma ciò non rappresenta un ostacolo alla lettura. In effetti, si tratta di un interessante esperimento, dal quale ogni insegnante potrebbe trarre utili spunti di riflessione.

Un'ultima osservazione: alla ricerca di notizie in rete, ho trovato pressappoco ovunque la stessa descrizione del libro (ad esempio qui, qui e qui), dove i nomi delle figlie vengono indicati con Ray e Lola. L'unico ad aver letto veramente il libro sembra essere .mau., che peraltro non l'ha molto apprezzato...

Matemaatikon lentonäytös

2010-10-10T10:10:00.002+02:00

Francamente non so che c'entri la matematica con questo The mathematician's air display (anche se musica e matematica non sono mai troppo lontane). Comunque il brano mi sembra gradevole.

L'autore e interprete è il compositore e polistrumentista finlandese Pekka Pohjola, prematuramente scomparso, purtroppo, due anni or sono. In questo brano è accompagnato dal più noto Mike Oldfield (quello di Tubular Bells e Moonlight Shadow), il cui sound caratteristico è chiaramente udibile in alcuni passaggi.

Boom!

2010-10-05T03:14:00.009+02:00

Non mi sarei mai aspettato di trovare della buona matematica all'interno di una bomba da party (quei cilindretti di cartone che esplodono disseminando ovunque gadgets di infima qualità). Immaginate quindi la sorpresa quando, assieme a cappellini di cartone, nasi di plastica e fischietti (che di solito non fischiano) ho raccolto tra i detriti una piccola busta di plastica contenente 6 carte simili a questa:

(il set completo è qui). Le schede permettono di indovinare un numero (tra 1 e 63) pensato da un partner semplicemente facendoci indicare quali di esse lo contengono e sommandone i valori riportati in alto a sinistra. Ad esempio, se il numero pensato è il 35, le carte riconsegnate inizieranno con 1, 2 e 32.

Il funzionamento del gioco è basato sul sistema binario. Ciascuna delle 6 carte contiene soltanto i numeri in cui la cifra 1 compare in una posizione fissa nella notazione in base 2: la carta con "1" contiene tutti i numeri con "1" nella prima posizione (da destra verso sinistra), la carta con "2" contiene quelli con "1" al secondo posto" e così via. Consegnare o non consegnare una carta equivale quindi a comunicare il codice binario del numero pensato: nell'esempio visto sopra, si tratta di 100011 in base 2, cioè 32+2+1=35 (come noto, per convertire in base 10 un numero binario è sufficiente sommare le potenze di 2 corrispondenti alle posizioni non nulle).

Indovinare un numero fino a 63 non sembra poi una gran cosa, però. Per questo motivo, pasticciando un po' con Maple e LaTex mi sono divertito a creare le carte per giocare con numeri fino a 1000 (1023, per la precisione). Sono solo 10 (indicate dalle potenze di 2 da 2^0=1 a 2^9=512), ma ognuna di esse contiene 512 valori. Se a qualcuno interessano, sono qui.

Odissea matematica

2010-10-03T13:31:00.001+02:00

L'inglese Marcus du Sautoy si sta senz'altro imponendo come uno dei più interessanti divulgatori nel campo della matematica (e non è quindi un caso se è stato scelto come successore di Richard Dawkins quale Professor for the Public Understanding of Science all'Università di Oxford). La sua ultima fatica letteraria, The Number Mysteries. A Mathematical Odissey through every day of life, è da poco apparsa in edizione italiana con il titolo L'equazione da un milione di dollari e altri enigmi matematici che rifiutano di farsi risolvere. Il libro si compone di 5 capitoli, ognuno dei quali mette in risalto il ruolo di un diverso aspetto della matematica nella vita di tutti i giorni. Nell'ordine, Du Sautoy ci parla di numeri primi, di geometria, di successioni numeriche, di codici e di modellizzazione. Ognuno dei cinque argomenti viene poi abilmente messo in relazione con un problema del millennio dell'Istituto Clay, a dimostrazione del fatto che i temi più "caldi" e attuali della matematica non sono poi così lontani dalla nostra esperienza quotidiana.
Il libro mi è piaciuto molto. In particolare ho ammirato la capacità dell'autore di scovare della buona matematica praticamente ovunque: una bustina di tè, il videogame Asteroids, un branco di lemmings, una punizione di Roberto Carlos rappresentano tutti ottimi pretesti per illustare come la matematica sia davvero il linguaggio più adatto per descrivere quanto ci sta attorno.
Un ultimo appunto: il titolo italiano sembra scelto in maniera un po' affrettata; in effetti esso tradisce, a mio avviso, il vero spirito del libro, il cui scopo principale non è certo quello di illustrare i millennium problems (raccontati, ad esempio, in un ottimo libro di Keith Devlin), ma piuttosto di mettere in risalto con uno stile simpatico ed accattivante il ruolo fondamentale che la matematica riveste nel mondo contemporaneo.

Il test di Turing... a fumetti

2010-09-27T21:05:00.002+02:00

In un celeberrimo articolo del 1950 a proposito dell'intelligenza artificiale, Computing Machinery and Intelligence (leggibile qui), Alan Turing cercò di trovare un modo per rispondere alla domanda "una macchina può pensare?". In particolare, escogitò il test che oggi porta il suo nome: una macchina può essere considerata pensante se una conversazione con un giudice ignaro della sua natura non permette di distinguerla da un essere umano.

Dimostrando ancora una volta una certa competenza scientifica l'irascibile Alan Moore, autore "cult" del fumetto angloamericano, fa uso del test di Turing nella sua (per ora) ultima storia dedicata al personaggio di Jack B. Quick (uscita nel 2006 sulle pagine dell'antologico Tomorrow Stories Special), dove una sgangherata creazione del giovane inventore viene sottoposta ad un'altrettanto sgangherata versione del test. Ecco la pagina in questione:

Cyber-Turing

2010-09-11T12:24:00.003+02:00

Incuriosito dall'entusiastica recensione di Alex Kasman, ho letto con parecchio interesse Turing (A Novel about Computation), romanzo d'esordio di Christos H. Papadimitriou, professore di scienze informatiche a Berkeley nonché co-autore (e coprotagonista) del geniale Logicomix. Si tratta di un romanzo dal sapore vagamente cyberpunk, che mette in scena un insolito triangolo amoroso (in bilico tra il virtuale e il reale) tra due maghi dell'informatica ed un archeologo greco, all'interno del quale si insinua un simulacro virtuale di Alan Turing che contribuirà in modo fondamentale al ricongiungimento di due dei protagonisti. Tale "personaggio", che alla fine del romanzo dimostrerà la sua "intelligenza" per mezzo di una variazione del test che porta il suo nome, assolve un altro scopo: nel corso di un serie di conversazioni virtuali col già citato archeologo egli illustra alcune nozioni di logica, informatica e scienze computazionali donando all'opera di Papadimitriou un interessante valore aggiunto anche dal punto di vista divulgativo (il libro è pubblicato da MIT Press, non certo un editore di romazi rosa). Trovo interessante ed originale anche l'idea di sostituire le note a margine con una scelta di interventi comparsi sul newsgroup dedicato al libro prima della sua uscita in libreria.

Un romanzo gradevole, quindi, che si legge volentieri (anche se come opera fantascientifica risulta un po' traballante), di cui ho apprezzato maggiormente gli aspetti divulgativi rispetto alla narrazione.

Ricerca o plagio?

2010-09-01T17:59:00.002+02:00

La ricerca in matematica procede in un modo davvero peculiare. Spesso un lavoro originale consiste nell'applicazione di tecniche note a situazioni leggermente nuove, magari con lo scopo di sbarazzarsi di qualche piccola ipotesi secondaria. Parlo per esperienza, dal momento che l'obiettivo principale del mio dottorato di ricerca è stato di eliminare l'aggettivo commutativo da una serie di risultati ottenuti dal mio mentore (è stata più dura di quanto si possa pensare). D'altronde non conviene andare troppo per il sottile: nel mondo accademico la parola d'ordine sembra essere publish or perish, e spesso la carriera di un ricercatore dipende più dalla quantità che dalla qualità dei lavori prodotti (ma, forse, si tratta solo di un pregiudizio). E in fondo a far avanzare il fronte della ricerca non sono soltanto le menti geniali, ma anche (e soprattutto?) gli onesti lavoratori che ne mettono a frutto le geniali intuizioni.

Il confine tra plagio e originalità appare quindi molto labile. Tom Lehrer ci scherza sopra alla sua maniera, con una canzone (interpretata con un finto accento russo) dedicata a Nikolai Lobachevski:

In realtà, Nikolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856) fu tutt'altro che un plagiatore: assieme a Jánosz Bolyai (ma in maniera indipendente) egli concepì l'esistenza delle cosiddette geometrie non euclidee (prive del postulato delle parallele), che qualche decennio dopo sarebbero state parte integrante della teoria Einsteiniana della relatività. Tom Lehrer scelse di utilizzare il suo nome, pare, per ragioni puramente metriche, anche se forse fu influenzato da alcuni storici che, ancora oggi, attribuiscono erroneamente al "principe dei matematici" Carl Friedrich Gauss la paternità delle geometrie non-euclidee.

QED #3 - Un libro di legno

2010-08-29T12:16:00.001+02:00

Tempo fa, sul blog BoingBoing, mi sono imbattuto nella descrizione di Harmonograph, uscito nella collana Wooden Books. Incuriosito, ho dato un'occhiata al sito dell'editore, molto curato dal punto di vista grafico, che permette di curiosare gratuitamente all'interno dei volumi per alcuni minuti. Il libro fa parte di una collezione di opere di piccolo formato, dal look elegante e curato, stampate su carta riciclata. Tra i diversi argomenti (a volte un po' esoterici...) trovano posto anche la matematica e la geometria. In particolare, ho sfogliato con interesse (dapprima virtualmente, e poi anche fisicamente) Q.E.D. - beauty in mathematical proof del matematico australiano Burkard Polster. Si tratta di una selezione di brevi dimostrazioni (spesso solo accennate), a metà strada, diciamo, tra i già menzionati libri di Nelsen e Aigner/Ziegler, con particolare attenzione all'aspetto ludico ed estetico. Non si tratta certo di un libro consigliato a chi voglia ampliare la propria cultura matematica, ma piuttosto di un'interessante proposta-regalo, magari per stuzzicare la curiosità di qualche conoscente convinto che bellezza e matematica non possano assolutamente andare d'accordo.

Storie di matematici e di matematica

2010-08-11T13:47:00.003+02:00

Vite matematiche - protagonisti del '900 da Hilbert a Wiles è il titolo di una raccolta di brevi biografie di alcune tra le più significative figure di matematici del XX secolo. Pubblicata da Springer e curata da Claudio Bartocci, Renato Betti, Angelo Guerraggio e Roberto Lucchetti, l'opera presenta una serie di interventi di autori diversi volti ad illustrare da un lato i progressi più significativi della disciplina matematica degli ultimi cent'anni, e dall'altro la vicenda umana di chi li ha resi possibili. Da David Hilbert ad Alexander Grothendieck, da Emmy Noether a Renato Cacciopoli, da Bertrand Russell a Gian-Carlo Rota, fino ai "contemporanei" Enrico Bombieri e Andrew Wiles, i "Protagonisti" scelti dai curatori rappresentano certamente una valida selezione; qualche "grosso nome" è rimasto escluso (Paul Erdös, Julia Robinson, Serge Lang,... ; l'elenco potrebbe proseguire ad oltranza), ma il libro permette di dare un'occhiata a 360 gradi sulla recente evoluzione della matematica. Particolare attenzione è riservata alla matematica italiana, alla quale è dedicato anche un interessante saggio introduttivo: tra le biografie dei Grandi del '900 trovano legittimamente posto, oltre ai già citati Caccioppoli, Rota e Bombieri, anche Bruno de Finetti e Ennio de Giorgi. I testi biografici sono inframmezzati da brevi testi letterari di autori quali Enzensberger e Borges.

Non si tratta, a dire il vero, di un libro pensato per il grande pubblico (dopotutto è edito da Springer): la lettura di alcuni dei testi presentati (quello su Grothendieck, ad esempio) richiede competenze specifiche tutt'altro che scontate. Si tratta, direi, di un'opera destinata a chi già si occupa di matematica, utile per ampliare i propri orizzonti e gettare uno sguardo sul periodo storico in cui essa ha subito la sua evoluzione più fenomenale. Per molti, quindi, ma non per tutti.

Matematica pragmatica

2010-07-27T10:44:00.001+02:00

Sul sito di BusinessWeek, in appendice al già citato articolo Math will rock your world, Stephen Baker indica quali sono, secondo lui, le competenze matematiche necessarie per intraprendere una carriera di successo. Eccole qui (cliccare per ingrandire):

Interessante il consiglio relativo al calculus (il calcolo infinitesimale): secondo Baker, trascurarlo equivale a chiudersi in faccia la porta che conduce ad alcune tra le più lucrative opportunità di fare carriera.

Si tratta di un approccio radicalmente opposto a quello di Lockhart ma, come ho affermato ieri, insegnando non possiamo non tener conto delle aspirazioni (anche economiche) dei nostri studenti...

Lamentazione e Giubilo

2010-07-26T18:06:00.001+02:00

Contro l'ora di matematica (Rizzoli) è il provocatorio titolo italiano di A Mathematician's Lament, breve saggio del matematico e insegnante statunitense Paul Lockart sull'insegnamento della matematica a livello pre-accademico, una cui versione preliminare era già apparsa (qui) sulla popolare rubrica online di Keith Devlin (una traduzione italiana è disponibile qui, presso Xla Tangente).

L'opera è divisa in due parti, Lamentazione e Giubilo. La prima, forse un po' banale e ridondante nei contenuti, fornisce un elenco di quelli che, a detta dell'autore, rappresentano i principali problemi della scuola (o, meglio, dei programmi statunitensi di insegnamento della matematica). Il suo punto di vista è quello dell'esteta: a detta di Lockart (che in questo concorda col sommo Hardy) la matematica va insegnata solo in quanto espressione artistica, frutto di un lavoro creativo non differente dalla pittura o dalla musica, trascurandone quando possibile gli aspetti formali e lasciando libero sfogo alle intuizioni dello studente. Pur trovandomi d'accordo sul fatto che la bella matematica raggiunga le più alte vette creative dell'espressione umana trovo le argomentazioni espresse nel libro tutt'altro che convincenti:

a differenza della musica o delle arti figurative, la matematica ha un solo livello di fruizione: l'ascolto del Canone di Pachelbel non richiede competenze di teoria musicale, ma ben difficilmente chi è totalmente digiuno di matematica potrà apprezzare il metodo della diagonale di Cantor o la celebre dimostrazione di Euclide sui numeri primi (per non parlare dei trionfi di Wiles o di Perelman);
mettendo in pratica i suoi principi, Lockhart impone il suo punto di vista sulla matematica; pur amandone a mia volta gli aspetti estetici, storici e filosofici (e facendone uso nell'insegnamento) non posso però trascurarne gli aspetti più pragmatici: io so che senza nozioni formali di calcolo infinitesimale i miei attuali studenti al Politecnico si troveranno in grosse difficoltà. Su una cosa, però, concordo con lui: spesso è inutile cercare a tutti i costi applicazioni pratiche della materia insegnata. La matematica banale ha, in genere, soltanto applicazioni banali (e quindi noiose).

Il testo è condito da alcune conversazioni tra gli immaginari Salviati (alter-ego dell'autore) e Simplicio, prelevati direttamente dal Dialogo di Galileo Galilei.

Nella seconda parte del libro, che mi ha maggiormente convinto, l'autore tenta poi di spiegare la sua visione dell'estetica matematica, fornendo alcuni esempi in cui l'intuizione prevale sugli aspetti formali. Si tratta senz'altro di esempi significativi, stimolanti e non banali. Si scaglia inoltre contro la didattica della matematica (che definisce "assurda tragedia"); pur non condividendone le posizioni estreme, sono a mia volta convinto che all'insegnante debba essere lasciata assoluta libertà espressiva nel condurre le lezioni, a scapito di modelli preconfezionati.

Concludendo: lo sfogo di Lockhart non è, a mio avviso, un capolavoro di divulgazione, ma fornisce comunque parecchi spunti di riflessione a proposito dei temi centrali dell'insegnamento della matematica. Non mi sono quindi pentito di averlo letto.

Logos arithmos

2010-07-22T16:18:00.000+02:00

Eggià, il logaritmo. Non sono ancora riuscito a capire perché tale concetto ponga così tante difficoltà agli studenti liceali. Sì, d'accordo, si tratta di una funzione trascendente, definita in modo implicito (per lo meno prima di aver trattato il calcolo infinitesimale) ma, almeno per quanto mi riguarda, ogni approccio, anche il più "soft" ed elementare, si è rivelato insoddisfacente. Eppure non si tratta certo di una nozione artificiale o estranea alle nostre esperienze: la legge di Weber-Fechner afferma addirittura che le nostre percezioni agli stimoli (ad esempio relative all'intensità sonora o luminosa) sono espresse attraverso una scala logaritmica (e quindi che il concetto di logaritmo è, in qualche modo, "programmato" dentro di noi!). La storia del logaritmo, le sue applicazioni (e, per chi si interessa di queste cose, le sue proprietà algebro-analitiche) ne fanno un argomento ideale per un approccio interdisciplinare (un tipo di approccio che, ahimè, sembra appassionare più i didatti che gli studenti...).

Per approfondire il tema, e magari per arricchire il contenuto delle mie lezioni, ho dedicato un po' di tempo alla lettura di e: the Story of a Number di Eli Maor, professore di storia della matematica alla Loyola University di Chicago (esperto in particolare nella relazione tra musica e matematica). Il libro (pubblicato da Princeton, una garanzia per i contenuti) è dedicato alla costante e, la base del logaritmo naturale, e quindi non può prescindere da un'accurata presentazione di quest'ultimo. In effetti si tratta di un testo ben strutturato che, partendo dalle vicende relative agli "inventori" (o "scopritori"?) del concetto di logaritmo Stifel, Bürgi e Napier ne presenta in modo competente ed esaustivo sviluppi storici, particolarità ed applicazioni con uno stile piacevole e discorsivo, senza mai risultare pesante pur non rinunciando a formulazioni matematicamente corrette. Per essere apprezzato appieno il libro richiede, come menzionato nella quarta di copertina, un "modest background in mathematics", equivalente forse ad un corso standard liceale. Richiede quindi uno sforzo superire rispetto alla media dei testi divulgativi, ma ne vale la pena.

Quack!

2010-07-21T11:55:00.002+02:00

Paperino nel mondo della Matemagica (Donald in Mathmagic land) è senz'altro uno tra i più celebri cartoons divulgativi mai realizzati. Il film, della durata di circa mezz'ora, rappresenta un viaggio fantasioso tra le meraviglie della matematica con protagonista il celebre papero Disney. La narrazione ci introduce dapprima alle idee dei pitagorici, prosegue con la sezione aurea e si sofferma infine sul rapporto tra la matematica e alcuni popolari giochi, con particolare attenzione agli aspetti geometrici del biliardo. Chiaramente, trattandosi di una pellicola del 1959, alcuni riferimenti risultano un po' datati, ma ciò non toglie nulla al valore dell'opera. Il cartoon si conclude con una celebre citazione di Galileo Galilei, "la matematica è l'alfabeto nel quale Dio ha scritto l'universo".

Candidata all'oscar 1959 come miglior documentario, la pellicola è diretta dall'esperto Hamilton Luske (il regista di Cenerentola, Alice e Peter Pan) e si avvale della consulenza scientifica del fisico Heinz Haber, uno fra i tanti scienziati tedeschi emigrati negli USA dopo il secondo conflitto mondiale.

Su YouTube il film è visibile per intero. Eccone la prima parte:

La seconda parte è qui, la terza qui.

Per chi volesse procurarsi legalmente una copia del filmato (magari da mostrare in classe), esso è disponibile nella collana Disney "Le Fiabe" (in abbinamento a "Il mio amico Ben", altra opera di Luske).

I signori dei numeri

2010-07-14T16:31:00.002+02:00

Come un moderno Pollicino, ognuno di noi ogni giorno lascia dietro di sè una scia impressionante di (virtuali) sassolini, ad esempio utilizzando carte di credito e tessere fedeltà o frequentando la "rete delle reti" (anche questo blog, probabilmente, rivela molto a proposito del sottoscritto). Ogni singola transazione, ogni singolo messaggio lasciato all'interno di un social network, addirittura ogni singolo click del nostro mouse vengono da anni pazientemente immagazzinati in enormi banche dati che però solo di recente iniziano a venir sfruttate in maniera efficiente, grazie da un lato alla potenza di calcolo messa a disposizione dai moderni computer e dall'altro all'inventiva di una nuova categoria di matematici. Nel suo libro Il potere segreto dei matematici il giornalista di BusinessWeek Stephen Baker li battezza I Numerati (espressione che dovrebbe richiamare gli Illuminati) e ne descrive il lavoro in alcuni campi quali la pubblicità, la propaganda politica, la sanità e la lotta al terrorismo. Il libro descrive abbastanza bene i campi d'azione di questi "signori dei numeri", prospettando applicazioni decisamente inquietanti: scavando tra i dati che ci riguardano e mettendoli opportunamente in relazione sarà forse possibile, un giorno, associarci degli "alter ego" virtuali che permetteranno di simulare (statisticamente) il nostro comportamento e quindi di formulare delle previsioni sull'evoluzione del nostro stato di salute, sulle nostre preferenze di voto o sulle nostre tendenze criminali.

Per sua stessa ammissione, Baker non ha particolari competenze matematiche. Il suo libro non si sofferma quindi sulle tecniche volte all'estrazione delle informazioni dai dati e al loro utilizzo per formulare delle previsioni (note con il nome di data mining). Per approfondire tali tematiche, un buon punto di partenza potrebbe essere il sito del Numerato Kurt Thearling.
In rete è inoltre disponibile (qui, sul sito di BusinessWeek) una sorta di sintesi del libro di Baker, dal suggestivo titolo Math will rock your world.

Matematica e religione

2010-07-13T18:24:00.000+02:00

È ormai da qualche anno che il più mediatico tra i matematici italiani si adopera in ogni modo per convincerci dell'incompatibilità tra rigore scientifico e senso religioso, con un atteggiamento talmente sprezzante da sembrare costruito a tavolino, riciclando di continuo argomentazioni basate essenzialmente sull'equazione "cristiano=cretino".

Beh, il "teologo ribelle" Hans Küng (clicca qui per una sua interessante intervista) cretino non lo è di sicuro, e con il suo saggio L'inizio di tutte le cose (Rizzoli) dimostra di apprezzare non poco il metodo scientifico, del quale parla con competenza e rispetto, citando Einstein, Gödel e Hawking (del quale menziona una sorprendente lezione a proposito dei limiti della fisica). Si tratta di un interessante contributo al dibattito tra scienza e religione, destinato al grande pubblico e quindi scritto con un tono scorrevole e informale, con riferimenti dotti e meno dotti (anche a Star Wars!), da leggere magari per disintossicarsi dall'indigestione odifreddiana.

Biancaneve e il computer

2010-06-29T16:24:00.000+02:00

Il polpettone porno-biografico Il matematico indiano mi aveva quasi convinto a stralciare David Leavitt dal novero degli autori da seguire. Incuriosito dalla comparsa in allegato a Le Scienze di L'uomo che sapeva troppo, ho però deciso di dare un'ulteriore chance all'autore statunitense. Devo ammettere di non esserne rimasto deluso: il libro è una seria biografia di Alan Turing, una delle figure più importanti della scienza del XX secolo, dove Leavitt si sforza anche di entrare in dettagli tecnici tutt'altro che scontati e dove l'omosessualità del protagonista viene trattata con toni garbati e rispettosi.

Anche se viene considerato un pioniere delle scienze informatiche, Turing fu innanzitutto matematico: da questo punto di vista, il suo risultato più importante fu probabilmente la risposta (ottenuta con metodi differenti, ma quasi in contemporanea, anche da Alonzo Church) al cosiddetto Entscheidungsproblem, una sfida alla comunità matematica lanciata nel 1928 dal "guru" David Hilbert. I metodi teorici sviluppati in quest'ambito si rivelarono tra le intuizioni più feconde della scienza del '900: la cosiddetta macchina di Turing, un costrutto logico/matematico utilizzato dal geniale inglese nelle risoluzione del problema posto da Hilbert, fornì le basi concettuali sulle quali si fonda ancora oggi l'architettura del computer.

Come crittologo, Turing contribuì poi in modo fondamentale alla risoluzione del secondo conflitto mondiale grazie al suo ruolo nella decifrazione dei codici di Enigma. Ma il servizio reso al paese non lo mise al riparo dall'arresto quando egli, ingenuamente, dichiarò la propria omosessualità (nell'Inghilterra degli anni '50 si trattava ancora di un reato). Le umiliazioni subite, culminate in una sorta di castrazione chimica, condussero Turing a suicidarsi addentando una mela intinta nel cianuro, ispirato forse da una scena del cartoon Biancaneve, il suo lungometraggio preferito.

Uno a zero

2010-06-20T08:55:00.001+02:00

Il lavoro di squadra è fondamentale in parecchi ambiti della vita moderna, dagli affari allo sport, dall'arte alla scienza. Non è però facile quantificare l'apporto dei singoli alla performance del team: nel calcio, ad esempio, non è affatto scontato che il ruolo di un fuoriclasse si riveli più importante di quello di un onesto macinatore di chilometri.

Proprio a partire dal calcio un team di biologi, informatici e matematici della Northwestern University di Evanston, Illinois, ha compiuto un interessante tentativo in questo senso (il paper è scaricabile gratuitamente a questo indirizzo): partendo dalle statistiche sulle squadre partecipanti all'Europeo 2008, gli autori associano ad ogni squadra un grafo orientato in cui i nodi rappresentano i giocatori di una squadra e gli archi (pesati) i passaggi tra di essi; completando il grafo con due nodi relativi ai tiri in rete e ai tiri a vuoto sono quindi in grado di quantificare l'apporto dei singoli giocatori alle azioni finalizzate dalla squadra. L'analisi dei dati ricavati permette di concludere che la squadra vincitrice del torneo, la Spagna, risulta essere la migliore anche sul piano teorico.

Ma, e questo è il bello del calcio, l'organizzazione e la complessità del gioco non sono bastate alla Spagna per esordire vittoriosamente nel mondiale. Hopp Schwiiz!

QED #2 - Senza parole

2010-04-23T18:10:00.006+02:00

A volte, l'idea centrale della dimostrazione di un teorema può essere trasmessa efficacemente per mezzo di un disegno. È lo scopo che si prefissa Proofs without words di Roger B. Nelsen, che di parole ne contiene ben poche. Il libro contiene una serie di illustrazioni in grande formato che invitano alla riflessione nei campi classici della matematica liceale. Alcune sono ben note (ad esempio quelle relative ad alcune somme numeriche) e convincenti, altre sono (almeno per me) nuove e sorprendenti, anche se in qualche caso l'assenza di commenti ne rende ardua la comprensione. Comunque l'opera ha il pregio di rendere plausibili anche risultati che di primo acchito potrebbero sembrare tutt'altro che chiari. Un esempio: per illustrare la relazione

("la somma dei primi n cubi è pari al quadrato della somma dei primi n numeri naturali") l'autore ci presenta qualcosa del genere (questa è una mia rielaborazione):

(una volta uno al quadrato più due volte due al quadrato più tre volte tre al quadrato più quattro volte quattro al quadrato e così via...).
Sull'argomento dimostrazioni senza parole Nelsen ha recentemente pubblicato un articolo sullo European Journal of Pure and Applied Matematics, disponibile sul sito della rivista cliccando qui.

QED #1 - Il Libro

2010-04-22T18:12:00.001+02:00

Solitamente, in un'opera di matematica i risultati più notevoli vengono espressi sotto forma di Teoremi. E ad ogni teorema corrisponde un'accurata dimostrazione. Attraverso le dimostrazioni è quindi possibile percorrere la via che dagli assiomi (le "verità fondamentali", punto di partenza di ogni teoria matematica) conduce fino ai risultati più spettacolari ed inattesi.

Didatticamente, questo modo di procedere può però risultare un po' ingannevole: l'allievo distratto o il lettore occasionale potrebbero ricavare l'impressione che in matematica vi sia sempre una "via maestra" che conduce invariabilmente al risultato voluto. Le dimostrazioni, con la loro eleganza formale, non rendono conto del cammino reale effettuato, che è spesso tortuoso e irto di ostacoli inattesi. Il lavoro del matematico è senz'altro più "sporco" di quanto mostrino le opere finite: solitamente, solo in un secondo tempo (e magari da altri autori) un percorso di ricerca viene condensato in modo sintetico ed elegante.

Già, elegante. Col tempo, il matematico sviluppa un vero e proprio senso estetico per le dimostrazioni. Paul Erdös, di cui ho parlato nei due post precedenti, asseriva che Dio (il "Sommo Fascista", nella sua terminologia) possiede un libro in cui sono riportate le dimostrazioni più belle. Aggiungeva, inoltre, che il matematico non è tenuto a credere in Dio, ma nel libro sì.

Negli ultimi anni della sua vita, su suggerimento di Martin Aigner e Günter Ziegler, Erdös si mise addirittura all'opera per compilare un'approssimazione del "Libro". Purtroppo non riuscì a completare il lavoro, ma il volume fu comunque terminato dai suoi due collaboratori e uscì nel 1998 con il titolo di Proofs from THE BOOK. Il risultato è un vero e proprio "scrigno del tesoro" (forse un po' parziale nei contenuti, che riflettono gli interessi di Erdös), che presenta un gran numero di dimostrazioni affascinanti, spaziando dalla teoria dei numeri alla geometria, per poi passare all'analisi e all'ambito combinatorio. Il primo capitolo si apre (era quasi obbligatorio) con la celebre dimostrazione di Euclide del fatto che i numeri primi sono infiniti (altre cinque dimostrazioni, più recenti, sono incluse), e nei capitoli successivi troviamo altri Classici, come il Postulato di Bertrand, l'irrazionalità di pi greco, la Formula di Eulero per i grafi planari, il metodo della diagonale di Cantor nonché numerose applicazioni del principio dei cassetti e di quello del doppio conteggio.

Essendo un'approssimazione del Libro, l'opera di Aigner e Ziegler è una sorta di work in progress: noto che nelle successive revisioni alcune dimostrazioni contenute nella prima edizione (che ho acquistato anni fa) sono state tolte ed altre sono state aggiunte (l'operazione mi sembra un po' discutibile, ed invita quasi a procurarsi il libro, peraltro costosetto, con metodi un po' "grigi"). In italiano è disponibile la terza edizione, a cura del "matematico di Alinghi" Alfio Quarteroni.

My mind is open - 2

2010-04-12T13:21:00.002+02:00

Sulla vita di Paul Erdös il regista G.P. Csicsery ha realizzato nel 1993 il documentario N is a number. Su YouTube esso è visionabile per intero (almeno fino a quando non lo toglieranno...). Eccone la prima parte:

Il seguito è visibile qui: parte 2, parte 3, parte 4, parte 5, parte 6, parte 7, parte 8, parte 9.

My mind is open

2010-04-11T13:30:00.004+02:00

Paul Erdös (1913-1966) è stato sicuramente un Protagonista della matematica del '900. Geniale ed eccentrico, lavorò soprattutto nell'ambito della matematica discreta, dando un impulso fondamentale ai campi della combinatoria estrema e della teoria di Ramsey (che si occupano dello studio dell'estensione minima di un insieme i cui elementi devono esibire una determinata proprietà).

Più che per le sue ricerche matematiche, Erdös è però noto fra i non specialisti per il suo singolare stile di vita: tutto ciò che lui possedeva trovava posto in una sola valigia, con la quale si spostava incessantemente da un istituto di ricerca all'altro, ospitato da colleghi ai quali in cambio metteva a disposizione il suo talento e le sue geniali intuizioni ("my mind is open" era, pare, la frase con la quale si presentava alla loro porta). In effetti, per Erdös il "fare matematica" era un'attività prevalentemente sociale: la maggior parte dei 1475 "papers" da lui prodotti (che fanno di lui il secondo matematico più prolifico di sempre dopo Leonhard Euler) furono scritti in collaborazione. Ciò ha originato, nel folklore matematico, il concetto di "numero di Erdös": a un determinato autore viene assegnato il numero 1 se ha collaborato direttamente con Erdös su un articolo, ai collaboratori dei collaboratori viene assegnato il numero 2, e così via (in termini matematici, si tratta della distanza da Erdös sul grafo delle collaborazioni). L'Università di Oakland ha dedicato un interessante sito all'argomento, dal quale risulta che un "numero di Erdös" basso è spesso associato a ricercatori di grande importanza.

Singolare era pure il linguaggio con cui Erdös si esprimeva: chiamava "epsilon" i bambini, "capi" le donne e "schiavi" gli uomini, definiva "morto" un matematico che aveva smesso di far ricerca (saluti dall'aldilà, quindi), e Dio era "il Sommo Fascista" che gli teneva nascoste le dimostrazioni più belle. Per il suo epitaffio, aveva suggerito la frase "ho finalmente smesso di diventare più stupido".

La vita di Paul Erdös, con qualche approfondimento sulla sua attività matematica, è ben raccontata nel bel libro "L'uomo che amava solo i numeri" (edito in Italia da Mondadori), del giornalista statunitense Paul Hoffmann.

"Tutto concorre..."

2010-04-09T15:46:00.001+02:00

"... al bene di coloro che amano Dio". È la traduzione CEI del passaggio della Lettera ai Romani (8,28) riportato su una lapide murata accanto all'entrata del piccolo cimitero posto sotto la chiesetta di Biganzolo, nella piccola località di Selasca, raggiungibile con una breve deviazione dalla SS34 in prossimità di Verbania (ho scattato la fotografia qualche giorno fa). L'iscrizione, originariamente, era posta sopra la tomba di Bernhard Riemann, un Grande della matematica, morto a Selasca nel 1866 a causa della tubercolosi che da tempo lo affliggeva, destino condiviso da un altro Grande dell'ottocento, Niels Abel.

Nella sua breve vita Riemann fornì contributi fondamentali in più campi della matematica: possiamo ricordare per l'analisi l'integrale di Riemann (noto, forse, a chi ha frequentato almeno il Liceo), per la geometria le superfici di Riemann e per la teoria dei numeri l'ipotesi di Riemann, probabilmente il più celebre problema aperto della matematica, contemplato sia nei 23 problemi di Hilbert del 1900 (è l'ottavo della lista), sia nei 7 problemi del millennio del 2000 (è il quarto).

Un interessante contributo sulla vita di Riemann è reperibile qui, nel blog Rudi Matematici. Si tratta della versione condensata di un articolo comparso sul numero 68 della rivista omonima.

Giornalisti e giornalai

2010-04-03T12:00:00.000+02:00

Ci sono due ambiti nei quali le mie conoscenze potrebbero essere definite superiori alla media. Uno è abbastanza evidente, l'altro fa a sua volta capolino in questo blog. Leggo quindi con interesse qualsiasi notizia pubblicata dalla stampa su tali argomenti, restando però solitamente deluso dalla superficialità con la quale essi vengono trattati. Certo, non si tratta di temi di grande richiamo, ma ciò mi fa a volte sorgere qualche dubbio sullo spirito critico con il quale i giornalisti affrontano tematiche ben più cruciali.
Ho quindi apprezzato l'uscita in libreria di Un matematico legge i giornali, di John A. Paulos, professore all'Università di Philadelphia sempre in prima fila nella lotta contro l'ignoranza matematica e curatore della rubrica Who's Counting sul sito di ABC News (dal quale, suppongo, parte del libro è tratta). Si tratta di un'opera strutturata come un quotidiano (che si apre quindi con le notizie politiche e nazionali, prosegue con quelle locali e termina con i necrologi e lo sport), composta da una cinquantina di interventi di poche pagine ciascuno in cui l'autore mette in evidenza le incongruenze e le manipolazioni presenti un po' ovunque nella carta stampata, dall'ormai cronico abuso della statistica alla presentazione tendenziosa dei dati, dalla manipolazione dei dati all'autoreferenzialità. Si tratta senz'altro di un tentativo interessante di mettere in luce uno dei pericoli principali dell'ignoranza matematica, cioè l'impossibilità di difendersi da notizie tendenziose e fallaci, che però, a mio avviso, raggiunge solo parzialmente il suo scopo. L'estrema brevità della maggior parte degli interventi non permette infatti all'autore di inquadrare a dovere i problemi e di discuterli in modo esaustivo, e quindi rischia di non lasciare alcuna impressione sul lettore occasionale (per il quale il libro è pensato). Peccato. Un'occasione parzialmente sprecata.
Tra l'altro, la sovracopertina (sul retro, in fondo) riporta quanto segue: "Attenzione! Questo oggetto attrae ogni altro oggetto nell'universo con una forza uguale al prodotto delle loro masse diviso per la radice quadrata della loro distanza. Maneggiare con cura!" - si tratta di una provocazione, o nessuno ha controllato il lavoro del traduttore?

Cthulhu e le geometrie non-euclidee

2010-02-21T16:54:00.004+01:00

Sul sito mathfiction ho trovato un paio di riferimenti ad Howard Phillips Lovecraft (1890-1937), probabilmente il più importante autore di genere fantastico del XX secolo. In particolare mi ha incuriosito The Dreams in the Witch-House (disponibile qui, nella versione originale inglese), apparentemente ispirato ad HPL da una conferenza del matematico e astrofisico olandese Willem de Sitter. Ho quindi riletto il racconto (nella traduzione italiana di Stefano Galli pubblicata da Mondadori). Si tratta di un tipico esempio di narrazione alla Lovecraft: il protagonista (Walter Gilman, studente di matematica all'immaginaria università di di Arkham) discende lentamente in un abisso di sofferenza e pazzia, sempre in bilico tra sogno e realtà, in un crescendo di orrore dal quale sarà infine sopraffatto. I riferimenti alla matematica non sono particolarmente profondi: essenzialmente un guazzabuglio di geometrie non-euclidee e universi alternativi utilizzati come mezzo per penetrare in luoghi altrimenti inaccessibili.

Ho dato anche un'occhiata al testo della conferenza di de Sitter (consultabile qui), The size of the Universe, un interessante discorso sulla forma e sulla dimensione dell'universo. Solo nella parte finale si trova qualche attinenza con il racconto di Lovecraft, con una breve menzione della possibile esistenza di più universi (intesi come soluzioni delle equazioni di campo della relatività generale).

Ordini di grandezza

2010-02-14T10:43:00.003+01:00

Saltellando qua e là attraverso i links di YouTube mi sono recentemente imbattuto nel cortometraggio Potenze di dieci, prodotto nel 1977 dalla IBM e realizzato dalla coppia di designers americani Ray & Charles Eames. Ricordo (con una certa nostalgia) di averlo visto ai tempi delle Medie, quando Google Earth e le sofisticate animazioni in CGI erano ancora lontani e quindi un filmato di questo tipo poteva ancora risvegliare un certo sense of wonder. Eccolo qui, nella sua interezza:

Il video è un viaggio attraverso 40 ordini di grandezza (dal quark all'intero universo) ispirato al libro Cosmic View di Kees Boecke (pubblicato nel 1957 e visionabile per intero qui). Per ulteriori informazioni su questa vera e propria opera d'arte consiglio di dare un'occhiata al sito ufficiale, nonché alle immancabili pagine su IMDB e Wikipedia.

"Gottinga" su carta

2010-02-13T13:13:00.002+01:00

Ha finalmente trovato un editore (la 001 edizioni) la graphic novel di Davide Osenda di cui avevo riferito tempo fa. Ribattezzata Ultima lezione a Gottinga e arricchita di due nuovi capitoli l'opera può ora essere letta nel modo più consono. Il fumetto è preceduto da due introduzioni: la prima è dell'immancabile Piergiorgio Odifreddi (è ancora possibile, in Italia, parlare di matematica al grande pubblico senza far riferimento a lui?), mentre la seconda è di Andrea Plazzi, che ha contribuito a far conoscere il lavoro di Osenda rendendone disponibile la prima versione sul suo blog (dal quale è ancora scaricabile!).

(Calcolo combinatorio)

2010-01-16T08:33:00.002+01:00

Lo scopo di questo post non è tanto quello di mostrare al mondo i miei appunti sul calcolo combinatorio, quanto di sperimentare scribd, un servizio di social publishing che permette, tra le altre cose, di inserire documenti in vari formati (ad esempio .pdf) all'interno delle pagine web.

L'altro Silvestro

2009-12-31T15:53:00.001+01:00

Oggi, ultimo giorno dell'anno, il calendario commemora la figura di San Silvestro, ossia Papa Silvestro I, che resse le sorti della Chiesa tra il 314 e il 335. Più interessante dal punto di vista di questo blog è però la figura di Silvestro II (al secolo Gerberto d'Aurillac), che fu papa tra il 999 e il 1003, quindi a cavallo dei primi due millenni. Egli fu studioso di astronomia e matematica e introdusse in occidente l'uso della notazione posizionale e dell'abaco due secoli prima di Fibonacci (senza l'uso dello zero, pare), che aveva appreso studiando in Spagna presso insegnanti arabi. Forse a causa delle sue frequentazioni islamiche numerose leggende lo rappresentano in combutta con il demonio e questo potenziale patrono della matematica non fu nemmeno beatificato.

Coseni iperbolici, cavalli e letteratura

2009-12-30T13:38:00.007+01:00

Che forma assume una fune quando viene appesa per i due capi? Non si tratta di una parabola, come saremmo portati ad affermare, ma di una cosiddetta catenaria, come spiega Carlo Emilio Gadda (1893-1973), uno dei "pesi massimi" della letteratura italiana del '900 (ma ingegnere di formazione), in una nota al termine del "quadro milanese" Al parco, in una sera di maggio contenuto nell'Adalgisa (dove a dire il vero la curva in questione viene usata per descrivere la groppa di un malandato cavallo):

"Catenaria" è la figura di equilibrio della catena sospesa per i due capi (franc. "chaînette", ingl. "catenary curve"). È la curva secondo cui si dispone un filo pesante, omogeneo, flessibile, inestensibile, tenuto per i due estremi A e B, nel campo della gravitazione terrestre. L'equazione della catenaria è

ove si denomina a la distanza, dall'asse x, del punto centrale ed imo, sedente sull'asse y. È curva simmetrica rispetto ad y. Galileo, in un geniale errore, aveva assimilato la catenaria fisica all'arco centrale della parabola. E di fatto, se te tu sviluppi la y in serie di Stirling-Mac Laurin, e te tu trascuri i termini (trascurabilissimi ne' computi applicativi) di grado della x superiore al secondo, te tu ne cavi l'equazione

che è l'equazione d'una parabola. Il che si pratica appunto nel calcolo meccanico delle funicolari e delle linee elettriche aeree, cioè sospese.

Come fa notare Gadda, per le applicazioni pratiche il tratto centrale della catenaria può essere assimilato ad una parabola. Ecco una visualizzazione di questo fatto, con a=1:

Sgt. Piergiorgio's ...

2009-12-26T18:43:00.004+01:00

L'ultima fatica letteraria dell'instancabile Piergiorgio Odifreddi è il libro dal titolo beatlesiano Il club dei matematici solitari del prof. Odifreddi (forse un po' lungo e autocelebrativo). Si tratta di una scelta di interventi tenuti nell'ambito del terzo Festival della Matematica di Roma da personalità di fama mondiale quali ad esempio i matematici Michel Atiyah, John Nash e Alain Connes, lo scacchista Boris Spassky, fino a Dario Fo e Umberto Eco, che ben illustrano come la tanto bistrattata matematica ben si inserisce nel discorso Culturale (la "C" maiuscola è voluta). Tra l'altro, oltre che dal libro in questione, il Festival è documentato anche da una collana di 10 DVD usciti in allegato a Le Scienze e dalla ricca scelta di files multimediali disponibili sul sito della manifestazione.

Finalmente un libro leggibile firmato Odifreddi, che quando ci risparmia i sui deliri anticlericali si conferma divulgatore appassionato e competente.

E ora... la derivata!

2009-12-13T18:07:00.004+01:00

Dal momento che l'ultimo non viene più visualizzato, è tempo di inserire un nuovo filmatino (non vorrei sovraccaricare il vostro browser...). Oggi la scelta è caduta sulla Derivative Song, scritta (le parole, per lo meno) e interpretata dall'inimitabile Tom Lehrer:

Il testo :
You take a function of x and you call it y,
Take any x-nought that you care to try,
You make a little change and call it delta x,
The corresponding change in y is what you find nex',
And then you take the quotient and now carefully
Send delta x to zero, and I think you'll see
That what the limit gives us, if our work all checks,
Is what we call dy/dx,
It's just dy/dx.

Se avessi un pianoforte in aula, e soprattutto se lo sapessi suonare, potrei provarci anch'io...

Rivoluzione metrica

2009-12-12T23:02:00.003+01:00

Il sistema metrico decimale è talmente ancorato nella nostra esperienza quotidiana da sembrarci scontato e banale (non per gli anglosassoni, però). Non riflettiamo mai a proposito di quanto sia agevole (perché compatibile con la nostra notazione numerica) il suddividere in 10 parti una misura di riferimento, non ci interroghiamo sul perché si utilizzino prefissi greci per i multipli e latini per i sottomultipli, e non ci poniamo il problema di come sia stato scelto, ad esempio, il metro campione.

A queste domande, e a molte altre, può dar risposta l'interessante saggio Il metro del mondo di Denis Guedj (quello del Teorema del pappagallo, di cui ho già parlato) uscito qualche mese fa in allegato a Le Scienze ma disponibile anche in libreria in edizione economica TEA. L'opera, un saggio che si legge come un romanzo, pone l'accento da un lato sulle vicende politiche che hanno fatto da sfondo, nel periodo rivoluzionario, all'adozione della nuova unità di misura, dall'altro sull'impressionante lavoro di misurazione, nelle condizioni più avverse, del quarto di meridiano passante per Parigi, la cui decimilionesima parte avrebbe appunto rappresentato la nuova unità di riferimento (nei due secoli trascorsi da allora la definizione sarà poi raffinata più volte).

Il libro menziona inoltre il ruolo politico di primo piano assunto nelle varie fasi della rivoluzione francese da parte dei matematici più noti dell'epoca (come Legendre, Lagrange, Vandermonde e, soprattutto, Gaspard Monge, il "padre" della geometria descrittiva, che firmò la messa a morte di Luigi XVI).

Logica, filosofia, letteratura e fumetto

2009-11-01T11:32:00.009+01:00

Apostolos Doxiadis, studioso delle relazioni tra matematica e narrativa, si era già fatto notare qualche anno fa per il bel romanzo Zio Petros e la congettura di Goldbach (pubblicato in italiano da Bompiani), resoconto della progressiva discesa verso la pazzia di un immaginario zio alla disperata ricerca della soluzione di uno dei più celebri problemi aperti della matematica.

Ben più reale è il protagonista della sua ultima fatica, Logicomix, graphic novel ("romanzo grafico") dedicata alla vita di Bertrand Russell, uno tra i più Grandi pensatori del '900. Sceneggiato da Doxiadis con la consulenza del prof. Christos Papadimitriou e splendidamente disegnata dalla coppia Alecos Papadatos/Annie di Donna, il fumetto ben descrive la vita tormentata del grande logico, filosofo e pacifista e la sua "epica ricerca della verità" (per citare il sottotitolo). La narrazione è strutturata su tre piani temporali differenti: a fare da cornice vi sono da una parte il resoconto della creazione dell'opera, con protagonisti i 4 autori, dall'altra una conferenza tenuta nel 1939 in un'università statunitense, nella quale Russell stesso diventa narratore. Tale narrazione, che costituisce il corpo principale dell'opera, si snoda a partire dagli anni '70 del XIX secolo, e ben illustra alcune fasi della vita di Russell, concedendo spazio sia alla sua vita privata sia alla sua ricerca dei fondamenti della matematica, sull'onda del "sogno" di Hilbert che sarà però frustrato da Kurt Gödel. Numerosi sono i personaggi famosi che gli autori fanno interagire con il protagonista: particolare rilievo vien dato a Alfred North Whitehead (co-autore dei Principia Mathematica, mai terminati) e al tormentato Ludwig Wittgenstein (che Russell vedeva come ideale discepolo), ma ruoli importanti sono riservati anche a Gottlob Frege, Georg Cantor, Giuseppe Peano, ai già citati David Hilbert e Kurt Gödel e inoltre, in misura minore, a John Von Neumann. In relazione a tali personaggi, gli autori si concedono pure qualche libertà, immaginando incontri e interazioni mai avvenute (o, meglio, trasportando sul piano fisico incontri avvenuti soltanto sul piano filosofico) e addirittura, come nel caso di Frege, allungando la vita a qualcuno di essi. Ma, come fa notare Doxiadis nella postfazione, "il libro non è - e non vuol essere - un'opera storica; è - e vuole essere - una graphic novel".

La narrazione, come detto, si ferma al 1939, alla vigilia dell'entrata degli USA nel secondo conflitto mondiale. Non vengono quindi menzionati altri fatti salienti della vita di Russell (che vivrà fino all'età di 98 anni) quali il Nobel per la letteratura del 1950 (per la sua Storia della filosofia occidentale) e l'intensa attività pacifista degli anni '50 e '60 (vale la pena di menzionare il Manifesto Russell-Einstein contro le armi di distruzione di massa e l'opposizione all'intervento americano in Vietnam).

Varie iniziative online hanno accompagnato l'uscita di Logicomix: si segnalano in particolare il sito ufficiale (dove è possibile leggere una corposa anteprima), un gruppo su Facebook e un interessante making of su YouTube.

In rete non mancano poi le risorse per chi voglia approfondire le sue conoscenze su un Gigante della cultura occidentale come Russell: si consiglia di partire dai links della pagina Wikipedia.

L'altra costante

2009-10-23T11:42:00.002+02:00

In un'ipotetica classifica delle costanti matematiche più gettonate, le posizioni di testa sarebbero senz'altro occupate dall'unità, dallo zero, da pi greco, da e (il numero di Eulero) e inoltre da i, l'unità immaginaria. L'appartenenza di questi cinque numeri ad una sorta di club esclusivo è certificata dalla celeberrima identità che li lega indissolubilmente tra loro.

Dietro a queste cinque inarrivabili prime donne, un intero serraglio di costanti minori scalpita per entrare nel salotto buono. Fra di esse, quella forse maggiormente degna di nota è la costante gamma di Euler-Mascheroni

definita come limite della differenza tra la serie armonica e il logaritmo naturale:

Proprio a tale costante è dedicato il bel libro Gamma: exploring euler's constant di Julian Havil, edito dalla Princeton University Press. Non si tratta, premetto, di un testo accessibile al grande pubblico: la comprensione dell'opera presuppone una buona familiarità con i concetti di base dell'analisi reale e pertanto essa è consigliata soltanto a chi abbia perlomeno terminato il liceo con solide basi. La sua lettura si rivela però oltremodo appagante: con il pretesto di "nobilitare" il ruolo di gamma, Havil fornisce un'ottima introduzione alle idee e ai metodi della cosiddetta teoria analitica dei numeri, branca della matematica inaugurata nella seconda metà del XIX secolo da Bernhard Riemann e Lejeune Dirichlet, entrando spesso nei dettagli tecnici senza dimenticare gli aspetti storici. Tra le altre cose, l'autore ci mostra come il logaritmo e la serie armonica possiedano proprietà e applicazioni davvero sorprendenti, spesso spiegabili proprio con l'approssimazione della serie armonica ottenuta dal logaritmo naturale con l'aiuto di gamma.
La parte finale del libro (quella più ostica) è dedicata ai numeri primi e alla loro relazione con la funzione zeta di Riemann, uno tra gli oggetti più affascinanti e misteriosi dell'intera matematica. Al termine del volume l'autore ha poi inserito alcune appendici di carattere tecnico; ho trovato molto interessanti, per chiarezza e sinteticità, quelle dedicate agli sviluppi di Taylor e alla teoria delle funzioni complesse.
Tutto sommato, quindi, un ottimo testo "per molti ma non per tutti", che costituisce un eccellente esempio di divulgazione per iniziati.

Da un IgNobel a un Nobel...

2009-10-11T18:31:00.006+02:00

Pi greco

di Wislawa Szymborska (da Grande Numero, 1976)

Degno di meraviglia è il numero Pi greco
tre virgola uno quattro uno.
Le sue cifre seguenti sono ancora tutte iniziali,
cinque nove due, perchè non ha mai fine.
Non si fa abbracciare sei cinque tre cinque con lo sguardo,
otto nove con il calcolo,
sette nove con l’immaginazione,
e neppure tre due tre otto per scherzo, o per paragone
quattro sei con qualsiasi cosa
due sei quattro tre al mondo.
Il più lungo serpente terrestre dopo una dozzina di metri s’interrompe.
Così pure, anche se un po’ più tardi, fanno i serpenti delle favole.
La fila delle cifre che compongono il numero Pi
non si ferma al margine del foglio,
riesce a proseguire sul tavolo, nell’aria,
su per il muro, il ramo, il nido, le nuvole, diritto nel cielo,
per tutto il cielo atmosferico e stratosferico.
Oh come è corta, quasi quanto quella di un topo, la coda della cometa!
Quanto è debole il raggio di una stella, che s’incurva nello spazio!
Ed ecco invece due tre quindici trecento diciannove
il mio numero di telefono il tuo numero di camicia
l’anno mille novecento settanta tre sesto piano
numero di abitanti sessanta cinque centesimi
giro dei fianchi due dita una sciarada e una cifra,
in cui vola vola e canta, mio usignolo
e si prega di mantenere la calma,
e così il cielo e la terra passeranno,
ma il Pi greco no, quello no,
lui sempre col suo bravo ancora cinque,
un non qualsiasi otto,
un non ultimo sette,
stimolando, oh sì, stimolando la pigra eternità
a durare.

Wislawa Szymborska, vincitrice del Nobel per la letteratura nel 1996, è considerata la più importante poetessa polacca contemporanea.

A proposito di IgNobel...

2009-10-08T16:57:00.003+02:00

(Grazie a Laura per la segnalazione) I promotori del premio IgNobel ("che prima fa ridere e poi riflettere"), cioè gli editori degli Annals of Improbable Research (scaricabili qui gratuitamemente, almeno nella versione low-res) si dimostrano meno schizzinosi di Alfred Nobel per quanto riguarda la matematica: in effetti, tra le 10 categorie premiate nel 2009 fa capolino anche quest'ultima, anche se il premiato non è propriamente un matematico. L'onore è andato al Dr. Gideon Gono ("failure is not an option"), il governatore della Banca Centrale dello Zimbabwe, per aver fornito alla gente un modo semplice e immediato per familiarizzarsi con i numeri - dai più piccoli ai più grandi - stampando banconote da un centesimo di dollaro fino a 100 bilioni ("trillions", in inglese).

In effetti, l'iper-inflazione (che nel 2008 ha raggiunto valori superiori a 200 000 000% (sì, duecento milioni percento!)) ha fatto sì che il 12 aprile 2009 il dollaro dello Zimbabwe cessasse di esistere come moneta corrente.

Trink, trink, Brüderlein, trink ...

2009-09-19T14:23:00.012+02:00

Oggi, 19 settembre, a Monaco si apre l'Oktoberfest. Per un paio di settimane sotto le numerose Bierzelten la buona birra bavarese scorrerà a fiumi, perpetuando una tradizione che si ripete per la 176esima volta.

Ma, vi starete chiedendo, che c'entra la matematica?

C'entra, c'entra (almeno un po'). Si sa che una birra è tanto più buona quanto più lenta è la scomparsa della sua schiuma, ed è probabilmente nel clima un po' fermentato di una Bierzelt che al Dr. Arnd Leike, ricercatore in fisica proprio all'Università di Monaco, è saltato in mente di dedicare una saggio all'argomento. Utilizzando come modello il decadimento esponenziale, Leike ha quindi analizzato tre diverse birre mettendone a confronto i "tempi di dimezzamento" per giungere ad una misura quantitativa della bontà di una particolare birra. Le considerazioni del ricercatore sono apparse sull'European journal of physics nell'articolo Demonstration of the exponential decay law using beer froth (scaricabile qui in formato .pdf), che è valso all'autore il premio Ig-Nobel per la fisica nel 2002 (la parodia del premio Nobel che ogni anno mette alla berlina le ricerche più strampalate).

Al di là dell'aspetto scherzoso della questione, il lavoro di Leike può rivelarsi didatticamente interessante: la misura del livello di schiuma è senz'altro realizzabile in un laboratorio scolastico, e può quindi rappresentare un'ottima introduzione alla legge di decadimento esponenziale (a condizione che poi gli alunni non si bevano la birra).

L'articolo di Leike ha avuto un'eco inaspettata nella stampa, e in rete si trova parecchio sull'argomento. Ad esempio, sul sito di ScienCentral (qui) è possibile visionare un breve documento filmato che comprende anche un'intervista al ricercatore tedesco.

Un, due, tre, ...

2009-09-08T18:01:00.006+02:00

Nel suo libro Il curioso dei numeri (pubblicato in Italia da Mondadori), Andrew Hodges ci propone una scorribanda attraverso la matematica seguendo un originalissimo percorso ispirato dai numeri da 1 a 9: in 9 capitoli (numerati appunto come le cifre del sistema arabo) l'autore ci conduce attraverso (cito dal sottotitolo) "stranezze matematiche, controversie scientifiche e divagazioni" varie, dove i temi trattati denotano qualche tipo di legame con la cifra corrispondente (legame che può essere evidente, come quello tra il numero 8 e l'elaborazione elettronica, o anche piuttosto arbitrario, come quello tra il 6 e il calcolo combinatorio). In ogni caso, si tratta di un libro interessante, da non leggere tutto d'un fiato per evitare un'indigestione e magari per prendersi il tempo di approfondire altrove gli argomenti trattati.
A proposito di numeri: su YouTube mi sono imbattuto in una registrazione "vintage" di La serie dei numeri, in cui il buon Angelo Branduardi ci dà la sua personale interpretazione del loro significato. Cliccare per ascoltare.

La matematica dei supereroi

2009-08-19T17:49:00.005+02:00

La teoria dei grafi può rivelarsi uno strumento prezioso per lo studio delle cosiddette reti sociali: rappresentando gli individui come vertici e le relazioni tra essi come archi tali reti (ad esempio di collaboratori scientifici) possono essere studiate in maniera efficiente con algoritmi ben noti.
Nel 2002 un trio di ricercatori dell'Università delle Baleari (R. Alberich, J. Miro-Julia e F. Rossello) ha investigato con tali metodi il grafo costruito a partire dall'Universo Marvel (cioè l'insieme dei personaggi dei fumetti editi dalla Marvel Comics), i cui vertici sono costituiti dai personaggi e gli archi dalle loro collaborazioni (due vertici sono cioè uniti da un arco se gli eroi corrispondenti sono stati protagonisti di una stessa storia). L'analisi, basata sullo studio di 6486 personaggi distribuiti su 12942 albi, ha evidenziato come l'universo artificiale creato nel 1962 da Stan Lee presenti molte delle caratteristiche di una vera rete sociale.
Il saggio che riassume le conclusione dei tre autori, intitolato Marvel Universe looks almost like a social network, è disponibile qui sotto forma di preprint.

La matematica degli zombies

2009-08-17T17:49:00.007+02:00

(No, non sto per riferire delle reazioni degli alunni di fronte alle mie lezioni)
A volte girovagando a caso per la rete può capitare di fare delle scoperte interessanti. L'altro giorno, ad esempio, sul frequentatissimo blog boingboing mi sono imbattuto in un post del giornalista e autore di SF canadese Cory Doctorow a proposito di un bizzarro studio sull'epidemiologia dello zombismo. Pensando ad uno scherzo, ho scaricato l'articolo corrispondente ("When zombies attack!: Mathematical modelling of an outbreak of zombie infection", disponibile qui in formato .pdf). In realtà si tratta di un esercizio interessante di modellizzazione matematica, in cui le interazioni tra tre popolazioni indicate con S (i "suscettibili", cioè i viventi), Z (gli zombies) e R (i "rimossi", cioè i deceduti) permettono di esprimere un sistema di 3 equazioni differenziali ordinarie (cioè una terna di relazioni tra le grandezze R,S,T e le rispettive variazioni istantanee, o derivate, R',S',T') dal cui studio è possibile prevedere quale sarà l'effetto del contagio a lungo andare. Le conclusioni del quartetto di autori (capeggiato dal prof. Robert J. Smith? (il punto interrogativo fa parte del cognome)) faranno senz'altro felici i fans di George A. Romero, Max Brooks e Robert Kirkman: nel caso di un'invasione di non-morti, le chances del genere umano sarebbero veramente poche...

110010

2009-08-16T18:41:00.003+02:00

Cinquantesimo post. In due anni non si tratta certo di un grande exploit, ma d'altro canto l'intenzione iniziale era soltanto di sperimentare questa nuova forma di comunicazione tanto in voga...
Tra l'altro, 50 è il più piccolo numero naturale che può essere scritto in due modi diversi come somma di due quadrati (quali?).

Lisbeth & Fermat

2009-07-31T17:21:00.005+02:00

Ho da poco terminato la lettura del romanzo La ragazza che giocava con il fuoco, gradevole episodio centrale della trilogia Millennium (che, pare, nelle intenzioni del compianto Stieg Larsson sarebbe dovuta diventare un decalogo). Il personaggio principale è, tra le altre cose, una matematica autodidatta che alimenta la propria passione per i numeri con la lettura di un immaginario testo intitolato Dimensions in Mathematics, arrivando addirittura a ricostruire autonomamente la dimostrazione "perduta" (o, meglio, inesistente) di quel briccone di Pierre de Fermat...

Matematica esplosiva

2009-07-29T17:13:00.005+02:00

Ho terminato da qualche giorno la lettura dell'autobiografia di Stanislaw Ulam, appropriatamente intitolata Avventure di un matematico (edita in italiano da Sellerio). Scritto con uno stile informale e discontinuo ma certamente sincero, il libro ben rappresenta vita ed opere del celebre matematico, dalla sua formazione nella Polonia di inizio '900 alla sua frenetica attività di ricerca negli States, dove Ulam ricoprì un ruolo fondamentale all'interno del progetto Manhattan, che rese gli USA la prima potenza nucleare al mondo. In effetti, la parte più interessante del libro consiste proprio nella descrizione "dall'interno" dei laboratori di Los Alamos, dove Ulam lavorò a lungo anche dopo il secondo conflitto mondiale. A dire il vero, nel libro la questione delle applicazioni belliche della ricerca viene affrontata in un modo molto superficiale (un po' cinico?): Ulam giustifica le ricerche effettuate a Los Alamos da un punto di vista meramente intellettuale, senza soffermarsi sulle conseguenze pratiche che esse anno avuto, liquidando in poche righe le reazioni ai lanci delle atomiche su Hiroshima e Nagasaki.
Nella sua autobiografia, Ulam dedica ampio spazio ad alcuni grandi personaggi che lo accompagnarono nelle sue avventure intellettuali, in particolare Stefan Banach (il fondatore dell'analisi funzionale), Enrico Fermi (Nobel per la fisica nel 1938) e John Von Neumann (che qualcuno definisce "l'ultimo dei grandi matematici"), veri propri "mostri sacri" della scienza del '900 che il libro ci restituisce nella loro dimensione più profondamente umana.
Stanislaw Ulam fu un pioniere dell'applicazione del computer ai problemi della matematica. Egli fu tra i primi scienziati civili ad aver accesso ad un calcolatore elettronico (il cosiddetto MANIAC I, sviluppato negli anni '50 a Los Alamos a partire dalle idee di Von Neumann), e quindi a poter sfruttare una potenza di calcolo fino ad allora inimmaginabile a supporto della teoria. In particolare, egli è considerato uno dei padri dei metodi detti di Monte Carlo per la simulazione di sistemi fisici e matematici altamente complessi.

L'equazione di Gaber

2009-07-02T13:59:00.010+02:00

(Grazie ad Arno per la segnalazione) Per rendere interessanti le sue opere, un autore di qualità deve poter attingere ad un ampio bagaglio culturale, che non può prescindere da qualche nozione di matematica (ne avevo accennato qui). Ciò è senz'altro il caso per il grande Giorgio Gaber, che per parlare di sentimenti ricorre nientepopodimeno che al concetto di equazione. Ascoltare per credere.

Chissà, forse in futuro la costanteassumerà il nome di costante di Gaber...

Aggiornamento (9 febbraio 2010): il brano è stato rimosso, ma al momento è ancora disponibile qui (si tratta, credo, di un'altra versione).

Io non sono un teorema.

2009-06-29T17:32:00.009+02:00

Nel 1999, il settimanale statunitense Time pubblicò una serie di numeri speciali dedicati alle 100 personalità più importanti del XX secolo, con lo scopo di proclamare la "persona del secolo" (che risultò poi essere un fisico dei nome Albert). Tra i 20 "Scienziati e pensatori" scelti dalla redazione vi fu anche Kurt Gödel, il logico che, tramite i cosiddetti teoremi di incompletezza, pose fine alla speranza Hilbertiana di dimostrare che l'aritmetica è priva di contraddizioni.
Il modo in cui Gödel pervenne alle sue conclusioni rappresenta una delle vette più alte mai raggiunte dal pensiero umano: essenzialmente, egli riuscì ad "aritmeticizzare" gli enunciati della matematica assegnando ad essi una sorta di codice numerico (il processo è oggi noto come gödelizzazione) permettendo quindi all'aritmetica di parlare di sè stessa. In questo modo gli fu possibile tradurre nel linguaggio aritmetico il paradosso di Epimenide (che si può sintetizzare nell'enunciato "quello che sto dicendo è falso"), sostituendo però il concetto di verità (logicamente e filosoficamente problematico) con il concetto di dimostrabilità. Aritmeticizzò quindi l'espressione "io non sono dimostrabile" (o "io non sono un teorema"), mostrando poi che tale enunciato non può essere né provato né refutato in nessun sistema formale abbastanza potente da descrivere le proprietà dei numeri naturali.
I principali risultati di Kurt Gödel sono l'argomento del libro Tutti pazzi per Gödel (edito da Laterza) del filosofo italiano Francesco Berto, che già nel sottotitolo promette di essere una guida completa al Teorema di Incompletezza. Si tratta di un'opera notevole, dal taglio tutt'altro che divulgativo: nella prima parte ("La sinfonia gödeliana"), Berto illustra in modo abbastanza dettagliato i due "teoremi di incompletezza" nell'ambito dell'aritmetica tipografica (un sistema assiomatico semplice ma abbastanza potente da definire i numeri naturali), supponendo che il lettore possieda già una certa dimestichezza con la logica di base, mentre nella seconda ("Il mondo dopo Gödel") analizza le implicazioni e le interpretazioni (spesso prive di senso) che i risultati gödeliani hanno avuto nel dibattito filosofico, ad esempio in riferimento al realismo platonico (i risultati della matematica esistono di per sè, e vengono quindi scoperti, o vengono creati dal matematico?).
Si tratta quindi di un libro che si può rivelare molto appagante, a condizione di possedere i necessari prerequisiti e di essere disposti ad una lettura molto concentrata (la lettura superficiale di un testo di questo tipo non ha senso). Per quanto mi riguarda, confesso di averlo letto forse troppo frettolosamente, e quindi di aver potuto assaporare solo in parte le raffinatezze offerte. Mi ripropongo però di riascoltare presto la sinfonia Gödeliana, approfondendo magari anche la biografia di Kurt Gödel.

Wolfram|Alpha

2009-06-05T17:46:00.014+02:00

Da qualche settimana è attivo Wolfram Alpha, un nuovo... non saprei come definirlo: il termine ufficiale è computational knowledge engine (motore di conoscenza computazionale?). In ogni caso, si tratta dell'ultima trovata dell'eclettico Stephen Wolfram (l'inventore di Mathematica, uno dei più popolari CAS presenti sul mercato): una sorta di motore di ricerca "intelligente", che comprende anche funzioni di calcolo avanzato (il cui scopo principale, comunque, sembra essere quello di fungere da veicolo pubblicitario proprio per Mathematica, su cui è basato). Provare per credere: è sufficiente inserire la propria richiesta (che può consistere anche in un'equazione, un integrale o semplicemente una funzione) nel campo previsto, e vedere quel che succede...

Qualche domanda interessante da porre a Wolfram Alpha (purtroppo, almeno per ora, occorre conoscere un po' d'inglese):

x^3*cos(x)
factor(x^32-1)
limit(n->infinity) Fibonacci(n+1)/Fibonacci(n)
days since august 2, 1971
Where am I?
How are you?
How old are you?
How many roads must a man walk down before you can call him a man?
What is the meaning of life?

Pitagora Superstar

2009-06-04T14:13:00.010+02:00

(Il titolo è una citazione; un non-premio a chi la coglie).
Sembra che Pitagora di Samo (575-495 a.C.) ispiri titoli non propriamente allegri. Infatti, dopo il già menzionato Delitti Pitagorici, ecco La vendetta di Pitagora, romanzo d'esordio del matematico e giornalista freelance Arturo Sangalli edito in Italia da Ponte alle Grazie. La narrazione, un po' scontata e vagamente Browniana (non è un complimento...) ruota attorno alla ricerca di un misterioso manoscritto, attribuito a Pitagora stesso, in cui il maestro avrebbe sintetizzato il suo pensiero e dato le istruzioni necessarie a ritrovare, a secoli di distanza, colui in cui egli si sarebbe reincarnato. La trama è comunque funzionale al vero scopo del libro, che è parlare di matematica: Sangalli riesce a comunicare al lettore alcune idee e alcuni concetti per niente banali e ad illustrarli in modo piuttosto convincente (tra le altre cose, si occupa ad esempio del gioco del 15, dell'irrazionalità della radice di 2 o, nell'appendice, del numero di permutazioni senza punti fissi). Lo scopo divulgativo dell'opera è evidente anche dall'editore dell'edizione originale, la prestigiosa Princeton University Press.
Si tratta quindi di un interessante caso di "matematica di contrabbando", dove l'interesse degli aspetti matematici compensa ampiamente le piccole pecche nella narrazione.

Bella e impossibile

2009-04-19T22:10:00.007+02:00

There's no permanent place in the world for ugly mathematics. Ossia, al mondo non c'è un posto permanente per la brutta matematica. Si tratta di una delle frasi più celebri del saggio di G. H. Hardy A mathematician's apology (pubblicato in italiano da Garzanti con il titolo Apologia di un matematico), che ho recentemente riletto con maggiore cognizione di causa dopo aver approfondito la figura del suo autore (qui e, parzialmente, qui).

Scritto nel 1940, quando Hardy si era ormai reso conto di essersi lasciato alle spalle il suo periodo produttivo, il libro rappresenta un tentativo di giustificare i motivi che possono condurre a dedicare la propria vita alla matematica. Si tratta di un'opera affascinante, nella quale il far matematica viene descritto come un processo soprattutto creativo e l'importanza della matematica viene giudicata con criteri estetici. Hardy accosta in modo affascinante arti figurative, musica e matematica: il pittore crea la bellezza accostando i colori, il musicista accostando i suoni e il matematico accostando le idee. Già, idee, e non formule, equazioni o simboli. Per Hardy, quindi, la matematica è interessante quando è bella.
Purtroppo, però, Hardy si mostra un po' troppo ottimista: anche il fruitore occasionale può facilmente cogliere la bellezza in un dipinto o in una sinfonia, ma senza aver istruito adeguatamente l'occhio (o l'orecchio) della mente ben difficilmente saprà apprezzare l'eleganza di una dimostrazione. Il libro contiene solo due esempi (celeberrimi) di "belle dimostrazioni": l'irrazionalità della radice di 2 e l'infinità dei numeri primi, guarda caso proprio quelle che, all'inizio del primo anno di Liceo, vengono somministrate agli studenti (i quali, purtroppo, non ci trovano niente di affascinante; tuttalpiù le studiano a memoria sperando di far bella figura...).
Per Hardy esiste una matematica "banale" (quella che viene studiata nei corsi scolastici e universitari) e una matematica "vera", che viene approfondita proprio perché bella. Afferma inoltre che la matematica "vera" non potrebbe mai avere applicazioni nefaste, ad esempio in ambito bellico. Qui si rivela però un cattivo profeta: oggi il suo campo di studi prediletto, la teoria dei numeri, viene sfruttata intensamente in crittologia, disciplina legata a doppio filo alle applicazioni militari.
Il libro, per lo meno nell'edizione della Cambridge University Press, è preceduto da una lunga introduzione biografica del romanziere C. P. Snow, che è stato vicino ad Hardy negli ultimi anni della sua vita e che ci permette quindi di farci un'idea precisa degllo stato d'animo in cui il matematico si trovava al momento in cui l'opera è stata redatta.

Ramanujan done right

2009-04-15T17:29:00.005+02:00

Insoddisfatto dalla lettura di Il matematico indiano, ho deciso di andare alla ricerca di un libro maggiormente focalizzato sulla figura di Srinivasa Ramanujan. Seguendo il consiglio dello stesso Leavitt, ho quindi scelto la biografia The man who knew infinity, dello statunitense Robert Kanigel (in italiano è uscito da Rizzoli, con il titolo L'uomo che vide l'infinito). Non sono rimasto deluso, anche se pure quest'opera trascura un po' troppo gli aspetti matematici. Il libro ci presenta soprattutto la vicenda umana di Ramanujan, dalla ricerca di un mentore (che troverà in Hardy) agli anni trascorsi in virtuale isolamento in Gran Bretagna (dove il rapporto con la sua unica figura di riferimento, Hardy appunto, non andrà mai oltre l'ambito professionale), fino alla malattia che, ahimè, lo condurrà ad una morte prematura. La figura che ne emerge è quella di un uomo triste, costantemente alla ricerca dei riconoscimenti che in India non aveva potuto avere (ne avrà comunque in abbondanza, anche se troppo tardi per goderne appieno), geniale ma limitato nell'espressione del suo genio da una conoscenza frammentaria della matematica (ad Hardy spetterà il compito di istruirlo almeno per quanto riguarda l'essenziale).
Come ho già detto, il libro non approfondisce la matematica di Hardy e Ramanujan; esso permette però di farsi un'idea abbastanza chiara dell'ambito in cui si mossero i due, specie per quanto riguarda il problema delle partizioni (che studia i modi in cui un numero naturale può essere scritto come somma), a cui diedero contributi fondamentali.
Per approfondire la matematica di Ramanujan esistono innumerevoli riferimenti online; qui, ad esempio, è possibile leggere la raccolta dei suoi lavori e "sfogliare" virtualmente i suoi celebri quaderni; qui, invece, è possibile scaricare l'edizione critica di tali quaderni curata dal matematico statunitense Bruce Berndt.

Gemelli diversi

2009-04-09T17:44:00.007+02:00

Dopo aver rimandato per un po', mi sono infine deciso a leggere La solitudine dei numeri primi (uscito per i tipi di Mondadori), opera d'esordio del torinese Paolo Giordano, bestseller e vincitore del Premio Strega 2008. Devo dire di essermi avvicinato al libro con una certa diffidenza, dovuta forse alla massiccia pubblicità di cui ha beneficiato, ma di essere stato piacevolmente sorpreso dalla narrazione. I protagonisti del romanzo sono due giovani torinesi, Alice Della Rocca e Mattia Balossino, le cui esistenze, segnate da due tragedie patite nell'infanzia, si dipanano parallelamente, venendo più volte a contatto senza mai intrecciarsi definitivamente, proprio come le coppie di numeri primi gemelli (vedi sotto), indissolubilmente legate ma sempre separate da un numero pari. Concentrata in sette diversi momenti, la trama segue per oltre un ventennio le vite di Alice e Mattia, mostrandocene le esistenze tormentate fino all'ultimo, definitivo distacco, paradossalmente l'unico momento del libro che lascia spazio ad una seppur tenue speranza. Tra l'altro, l'autore è ricercatore in fisica, e la sua familiarità con il mondo accademico è evidente nella costruzione del personaggio di Mattia, ricercatore in topologia algebrica, se non erro.
Il titolo del romanzo rimanda ai numeri primi geme lli: si tratta di quei numeri primi che differiscono di due unità, come 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, 29 e 31, 41 e 43 e così via; la coppia più grande conosciuta consta di due numeri di 58711 cifre. Tali numeri costituiscono uno dei tanti misteri ancora insoluti nel mondo dell'aritmetica: in effetti nessuno ha ancora saputo provare o confutare la congettura dei primi gemelli: esiste un'infinità di numeri primi p tali che p+2 sia a sua volta primo. A supporto della plausibilità di tale congettura esistono forti indizi (ma anche risultati apparentemente contraddittori, ad esempio il Teorema di Brun, secondo il quale, contrariamente a quanto accade con tutti i numeri primi, la somma dei reciproci dei numeri primi gemelli converge), ma nessuna dimostrazione formale.
Ed ora, per terminare, un simpatico intermezzo musicale: dal programma NovaScienceNow, una canzone ispirata dai numeri primi gemelli, inframmezzata dagli interventi di alcune "guest stars" matematiche d'eccezione (un piccolo appunto: chi ha realizzato il video, ha erroneamente incluso il numero 1 nella famiglia dei numeri primi...):

Ramanujan e Winnie the Pooh

2009-03-28T15:06:00.007+01:00

Non è un buon segno quando, per il sonno, un libro mi cade di mano. E tantomeno se ciò si verifica per 5 sere di fila (anche in un periodo di intenso lavoro). Forse in tal caso occorrerebbe rimettere il libro nello scaffale e leggere altro, ma non ne sono capace: se inizio un libro, devo finirlo (ognuno ha le sue piccole fissazioni).
Forse avrete intuito che sto per parlare di un libro che non mi è piaciuto. In effetti, l'aggettivo che per me meglio descrive Il matematico indiano (traduzione pasticciata del più efficace The indian clerk) dell'autore statunitense David Leavitt, è noioso. La trama è costruita attorno ad uno degli aneddoti più famosi della storia matematica recente, ossia l'incontro e la collaborazione tra il grande matematico inglese Godfrey H. Hardy (1877-1947, l'autore dell'Apologia di un matematico) e Srinivasa Ramanujan (1887-1920), il "commesso" del titolo dell'edizione inglese, forse una delle menti matematiche più geniali e interessanti di sempre. Dico "costruita attorno" perché Ramanujan rimane per lo più ai margini delle vicende trattate, incentrate su Hardy (e sulle sue tormentate relazioni omosessuali) e sui sentimenti di Alice Neville, personaggio semi-inventato, nei confronti di Ramanujan (ma anche, comunque, su una Gran Bretagna alle prese con il primo conflitto mondiale e sulle differenze culturali tra India e Inghilterra). L'aspetto matematico della questione viene ridotto a poche pagine; in effetti mi chiedo perché si siano dovuti scomodare così tanti "pesi massimi" (fanno la loro comparsa anche John E. Littlewood (ovviamente) e Bertrand Russell) per lasciare poi la matematica ai margini della vicenda (e qui mi trovo d'accordo con la recensione di Alex Kasman). Comunque il libro qualche pregio deve pur averlo, visto che si sarebbe aggiudicato uno dei premi Grinzane Cavour 2009, se il premio esistesse ancora.
A proposito dell'edizione italiana: a parte il maldestro titolo, vi è da segnalare un'altra chicca: il frontespizio di copertina parla della "difficile e contrastata relazione d'amore" tra Hardy e Ramanujan: è vero che Hardy descrive la sua relazione con Ramanujan parlando di "one romantic incident", ma di amore tra i due nel libro non vi è traccia. Ma chi li scrive 'sti frontespizi? E, soprattutto, li legge prima i libri?
Comunque dal libro di Leavitt qualcosa ho imparato: qual è l'origine segreta di Winnie the Pooh...

Happy pi-day

2009-03-14T09:07:00.006+01:00

Sui calendari anglosassoni il 14 marzo è scritto 3/14 (giorno e mese sono invertiti). Per questo, a qualche burlone è saltato in mente di dedicarlo a pi greco, il rapporto tra circonferenza e diametro, forse la costante più famosa dell'intera matematica. Per motivi pratici, essa viene studiata da sempre: qusi due millenni prima di Cristo erano già note approssimazioni accurate all'1%, e la più famosa approssimazione razionale, 22/7, è opera di Archimede di Siracusa (III sec. a.C.; tra l'altro, da qualche parte ho letto che per qualcuno il 22 luglio sarebbe il pi-approximation day, stavolta nel nostro calendario).
Si tratta del più celebre numero trascendente, non ottenibile cioè come soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi: questo risultato, ottenuto nel 1882 da Ferdinand von Lindemann, risolve uno dei più famosi problemi geometrici della storia, quello relativo alla quadratura del cerchio (che si dimostra quindi impossibile). Essendo trascendente, pi greco è pure irrazionale, non esprimibile cioè come quoziente di numeri interi. Ciò è noto sin dalla fine del '700 (grazie a Johann Heinrich Lambert), e dimostrazioni sempre più brevi ed eleganti si sono succedute nel tempo. La più celebre, che fa uso solo dell'analisi elementare, fu pubblicata dal matematico statunitense Ivan Niven nel 1947.
Tra l'altro, il 14 marzo 2009 ricorre anche il 130esimo anniversario della nascita di uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, tale Albert Einstein...

Per ogni matematico

2009-02-21T10:01:00.005+01:00

Angelo Br anduardi è senz'altro un grande artista. Fra le sue canzoni, nell'album Il dito e la luna, fa capolino anche un pochino di matematica:

Il testo (opera del poliedrico Giorgio Faletti, sì, proprio lui) non è forse ispiratissimo, ma l'ascolto è senz'altro piacevole (qualità della registrazione a parte). Interessante anche questo videoclip "artigianale" (qui il suono è migliore).

Alice e la matrice

2009-01-06T15:54:00.011+01:00

Chi può essere considerato il matematico più celebre? Se la domanda fosse posta ad uno specialista, forse la risposta sarebbe compresa nell'insieme {Archimede, Euclide, Newton, Eulero, Gauss, Hilbert}. Ma se non ci limitassimo alla produzione matematica la palma andrebbe forse consegnata al reverendo Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898), più noto con il nom de plume di Lewis Carroll. Esatto: l'autore dei romanzi Alice nel paese delle meraviglie e Attraverso lo specchio fu anche un matematico di prim'ordine (oltre che pioniere della fotografia e inventore). Il suo acume si espresse soprattutto nel campo della logica: egli escogitò un celebre paradosso dei tre barbieri (da non confondere con il quasi omonimo paradosso proposto da Bertrand Russell) ed inventò tutta una serie di giochetti logici. Il più famoso di essi è forse il seguente: "un bicchiere contiene 50 cucchiai di latte ed un altro 50 cucchiai d'acqua; un cucchiaio di latte viene travasato nell'acqua, e in seguito un cucchiaio della miscela ottenuta viene travasato nel primo bicchiere; c'è più acqua nel latte o più latte nell'acqua?"
Anche nel campo dell'algebra lineare Carroll ottenne risultati notevoli: in particolare, egli escogitò un ingegnoso procedimento per il calcolo del determinante di una matrice, detto per condensazione, che nel caso 3x3 può essere descritto come segue:

Tale metodo (generalizzabile per mezzo di un procedimento ricorsivo a matrici quadrate qualsiasi) è ben più di una semplice curiosità: esso può rappresentare una valida alternativa alla regola di Sarrus o agli sviluppi per riga o per colonna (almeno per matrici "piccole"), ma viene perlopiù ignorato.

Il gioco incompiuto

2009-01-03T10:13:00.018+01:00

Tra gli argomenti della matematica liceale, il calcolo delle probabilità è forse quello che, almeno inizialmente, suscita maggiori entusiasmi tra gli studenti (tale entusiasmo si esaurisce però ben presto con la comparsa dei primi dettagli tecnici). In effetti, vi è un indubbio fascino dietro all'idea che la matematica permetta di gettare uno sguardo sul futuro (anche se poi le cose non stanno veramente così...).

Inevitabilmente, introducendo l'argomento il discorso si sposta rapidamente in direzione del gioco d'azzardo: sorgono spontanee domande quali "Che probabilità ho di fare un 6 al lotto?" oppure "È vero che con la probabilità si può vincere al Blackjack?" (quest'ultima in conseguenza della visione del film "21").
Si tratta di interrogativi del tutto legittimi; in effetti è stato proprio il gioco d'azzardo a dare l'impulso decisivo allo studio del calcolo delle probabilità, mediante il cosiddetto "problema del gioco incompiuto": se una partita a dadi viene interrotta prima della sua conclusione, come va spartita la posta? Questo interrogativo ha rappresentato il tema principale della corrispondenza tra due Grandi della storia della scienza che, per tradizione, viene considerata come la prima vera trattazione del calcolo delle probabilità. I due Grandi in questione furono Pierre de Fermat (il "più grande matematico dilettante") e Blaise Pascal (il matematico, fisico e filosofo che molti considerano anche pioniere dell'informatica). La loro corrispondenza rappresenta il filo conduttore di un'interessante pubblicazione edita da Rizzoli, La lettera di Pascal, nella quale il noto divulgatore Keith Devlin illustra sinteticamente le origini del pensiero stocastico, menzionando anche i contributi di altri Grandi quali Cardano, Huygens, i Bernoulli e Bayes.

Il libro è interessante anche perché ci presenta dei matematici tutt'altro che infallibili: Devlin cerca di mostrare come certi concetti abbiano faticato a farsi strada anche nelle menti dei più grandi pensatori, e come anche uno dei più grandi intuiti della storia abbia potuto fare clamorosamente cilecca (con i cosiddetti numeri primi di Fermat).
Un piccolo appunto all'edizione italiana: il titolo scelto è senz'altro inferiore all'originale ("The unfinished game", che fra parentesi potrebbe anche alludere all'incompiutezza della matematica stessa), ma è soprattutto il sottotitolo a lasciarmi perplesso: "Storia dell'equazione che ha fondato la teoria della probabilità". Di una tale equazione nel testo non vi è traccia (forse, semplicemente, perché essa non esiste...).

Beno Eckmann, 1917-2008

2008-12-02T18:12:00.003+01:00

Il 25 novembre si è spento, all'età di 91 anni, il Professor Beno Eckmann, uno dei Grandi della matematica del XX secolo. L'influsso che le sue ricerche e i suoi insegnamenti hanno avuto è testimoniato anche solo dalla vastità del suo "albero genealogico matematico", che secondo il Mathematics Genealogy Project conta ben 1040 discendenti.
Pur non avendolo conosciuto personalmente, ricordo di averlo incrociato spesso nei corridoi dell'ETH, dove condivideva ben volentieri un ufficio con studenti e ricercatori di oltre mezzo secolo più giovani di lui.
Riporto di seguito il necrologio pubblicato sulla NZZ del 2 dicembre, opera di uno dei suoi più illustri allievi, il Professor Urs Stammbach:

Ein aussergewöhnlicher Mathematiker
Zum Tod von Beno Eckmann

Am 25. November ist Beno Eckmann, emeritierter Professor für Mathematik an der ETH Zürich, in seinem 92. Lebensjahr gestorben. Er gilt in weiten Kreisen als einer der profiliertesten Mathematiker des 20. Jahrhunderts.

Eckmann wurde 1917 in Bern geboren. Nach dem Studium der Mathematik an der ETH, das er 1941 mit einer preisgekrönten Doktorarbeit abschloss, war er als Privatdozent an der ETH, später als ausserordentlicher Professor an der Universität Lausanne tätig. Es folgte ein längerer Aufenthalt in Princeton. Nach der Rückkehr nach Lausanne nahm er 1948 einen Ruf an die ETH Zürich an, der er auch nach seiner Emeritierung im Jahre 1984 treu blieb: Bis vor kurzem war er regelmässig in der Hochschule anzutreffen und nahm mit seinem immensen Wissen weiterhin intensiv am wissenschaftlichen Leben teil.

Eckmanns wissenschaftliches Werk umspannt ein weites Feld. Viele grundlegende Entwicklungen der modernen Mathematik hat er wegweisend beeinflusst: Die algebraische Topologie hat er wesentlich ausgebaut, die Cohomologie-Theorie der Gruppen, die homologische Algebra und die Kategorientheorie zählen ihn zu ihren Mitbegründern. Mit besonderer Hingabe widmete sich Eckmann der Lehre. Seine ausserordentliche Fähigkeit, tiefe mathematische Ideen in klarer und eleganter Weise darzustellen, haben ihn zu einem überaus erfolgreichen akademischen Lehrer gemacht. Davon zeugt nicht zuletzt die Tatsache, dass er im Laufe seiner Tätigkeit über 60 Doktoranden betreute. Viele seiner Schüler wurden Professoren im In- und Ausland.

Neben seiner wissenschaftlichen Tätigkeit übernahm Eckmann auch viele andere Aufgaben. Von 1954 bis 1956 war er Vorsteher seiner Abteilung an der ETH, 1961/62 Präsident der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft, von 1956 bis 1961 Sekretär der Internationalen Mathematischen Union. Zu seinen grössten Verdiensten gehört die Gründung des Forschungsinstitutes für Mathematik an der ETH 1964, das er bis zu seiner Emeritierung überaus erfolgreich betreute. Dieses Institut ist zu einem weltweit bekannten Zentrum mathematischer Forschung geworden. Viele Ehrungen zeugen von der nationalen und internationalen Wertschätzung Beno Eckmanns, darunter Ehrendoktorate der Universität Freiburg, der ETH Lausanne sowie des Technions und der Ben Gurion University in Israel. Am Internationalen Mathematikerkongress 1994 in Zürich wurde er zu dessen Ehrenpräsidenten ernannt.

Beno Eckmann hat die Mathematik an der ETH über lange Jahre in einer wissenschaftlich ausserordentlich erfolgreichen, trotzdem menschlich bescheidenen und sympathischen Art geprägt. Seine ehemaligen Studenten, Doktoranden, Kollegen und Freunde werden ihn als positiven, freundlichen und in jeder Hinsicht integren Menschen in dankbarer Erinnerung behalten.

Urs Stammbach

Abbasso le caselline

2008-11-28T18:19:00.004+01:00

Ricordate le tabelline (o caselline)? Quanti di voi, a scuola elementare, hanno penato sulla tavola pitagorica? Inutile, dite voi? Mah, io non lo credo: in fondo, su di essa si basa il calcolo mentale, una capacità che io considero ancora imprescindibile. Una capacità che va però allenata: non capisco quindi per quale motivo ai ragazzi vengano consegnate prestissimo (a volte già a scuola elementare) le famigerate "macchinette", che non fanno altro che assecondare la naturale pigrizia che si annida dentro ognuno di noi.
Fortunatamente non sono l'unico ad essere di questo avviso: un articolo pubblicato sul sito del quotidiano La Stampa si sofferma sulle difficoltà degli scolari inglesi nel risolvere problemi che sarebbero stati considerati semplici una generazione fa, osservando quanto segue: "Fin dalle elementari ormai si permette ai bambini di usare la calcolatrice in classe, ritenendo inutile faticare per fare operazioni che una semplice tecnologia può fare per noi. I ragazzi hanno imparato fin troppo bene questa lezione, e arrivano al liceo distratti e convinti che non sia più necessario mandare a memoria le cose, poiché la conoscenza necessaria (ad esempio una data o una biografia) sarà comunque disponibile, quando servirà, sul telefonino collegato a Internet.".
Purtroppo, come ho modo di riscontrare quasi quotidianamente, alle nostre latitudini la situazione non è migliore: l'uso acritico della calcolatrice, oltre a nuocere al calcolo mentale, induce a dimenticare anche le convenzioni algebriche più basilari (come le cosiddette precedenze), rendendo indispensabile all'inizio del percorso liceale un lavoro di ricostruzione che troppo spesso si rivela però inutile.

L'infinito a fumetti

2008-10-26T10:25:00.011+01:00

Alla fine dell'800, il matematico tedesco Georg Cantor mostrò in due modi diversi che i numeri reali (cioè i numeri corrispondenti ai punti di una retta) non possono essere "contati" (o enumerati) utilizzando i numeri naturali (cioè 1,2,3 e così via), cioè che non è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra l'insieme N dei numeri naturali e l'insieme R dei numeri reali. Dal momento che N è contenuto in R, da ciò segue che R ha "più elementi" di N; trattandosi in entrambi i casi di insiemi infiniti, ciò implica l'esistenza di una "gerarchia" degli infiniti. Per studiare queste problematiche, Cantor introdusse la nozione di cardinalità: l'insieme R ha cardinalità maggiore rispetto a N. Immediatamente sorse spontanea una domanda: esistono cardinalità intermedie, esistono cioè sottoinsiemi di R che non possono essere contati utilizzando N e che a loro volta non permettono di contare R? Cantor credeva di no, e tale supposizione divenne nota come l'ipotesi del continuo.
La questione si rivelò talmente stuzzicante da essere inserita al primo posto da David Hilbert nell'elenco di 23 problemi che avrebbero dovuto plasmare la matematica del XX secolo (e in parte lo fecero davvero), stilata in occasione del II Congresso di Matematica di Parigi all'alba del nuovo secolo.
Il primo contributo importante giunse nel 1939 dal logico austriaco Kurt Gödel, il quale mostrò che l'ipotesi di Cantor non può essere confutata utilizzando le regole in uso per la definizione degli insiemi numerici (il sistema di Zermelo-Fraenkel provvisto dell'assioma della scelta). Qualche anno dopo Paul Cohen mostrò che tali regole non possono essere usate nemmeno per dimostrare tale ipotesi. Si tratta quindi di un enunciato indipendente dal sistema assiomatico in uso: supporre vera oppure falsa l'ipotesi del continuo non avrebbe generato alcuna contraddizione.
All'ipotesi del continuo, e più in generale alla nozione di infinito in matematica, è dedicato il fumetto Gottinga dell'autore italiano Davide Osenda, presentato al Festival della Matematica di Roma 2008. La storia si compone di 48 tavole ben illustrate in cui viene narrata l'ultima lezione tenuta all'Università di Gottinga da un professore di origini ebraiche, proprio mentre la furia antisemita (che avrebbe poi annichilito l'intera matematica tedesca) si sta abbattendo sulla città. Non dirò molto di più dato che il fumetto (che non ha ancora trovato un editore) è scaricabile liberamente (con licenza Creative Commons e in bassa risoluzione, ma perfettamente leggibile) dal blog di Andrea Plazzi (un noto esperto di cultura fumettistica).
Nel corso della narrazione al lettore vengono servite, in una forma accattivante e competente, alcune delle idee più affascinanti della storia della matematica, quali il metodo della diagonale o il paradosso dell'Hotel Hilbert (raffigurato nella tavola qui riprodotta), un immaginario albergo dotato di infinite stanze dove un ospite troverà sempre posto. Quest'ultimo, tra l'altro, è il tema di un racconto di SF di Stanislaw Lem, L'hotel straordinario, o il milleunesimo viaggio di Ion il Tranquillo, reperibile nell'antologia Racconti matematici (edita da Einaudi).

La scatola d'oro

2008-10-09T14:21:00.007+02:00

Avrei voluto essere il primo a segnalare un divertentissimo errore di traduzione presente nel quinto DVD della (peraltro interessante) collana "Novecento: il secolo della scienza" venduta in allegato al mensile Le Scienze. Ma qualcuno ci ha pensato prima di me, pubblicando addirittura su YouTube un estratto del filmato in questione:

(tra l'altro non sono sicuro che il verbo falsificare sia usato correttamente - forse il termine corretto è confutare, ma non stiamo qui a sottilizzare...).

Si tratta di un'intervista, contenuta nella mini-biografia di Kurt Gödel, al matematico statunitense John L. Casti, in cui a un certo punto (nella traduzione italiana) viene menzionata una fantomatica Congettura della Scatola d'Oro. La congettura viene poi enunciata: "ogni numero pari maggiore di 2 (questo manca, a dire il vero) può essere scritto come somma di due numeri primi"... Sorpresa: dietro al poetico nome affibbiatole dal traduttore si nasconde la Congettura di Goldbach, uno dei più celebri problemi insoluti della teoria dei numeri, enunciata nel XVIII secolo dal matematico prussiano Christian Goldbach (1690-1764).
Ma... da dove viene il poetico nome utilizzato nel DVD? Facile: "Goldbachs conjecture" (dove il nome tedesco viene pronunciato con accento americano) è diventato "gold-box conjecture", e quindi la scatola d'oro si è materializzata per magia...
La congettura di Goldbach fa da sfondo anche ad un consigliabile romanzo del matematico, regista e scrittore Apostolos Doxiadis, Lo zio Petros e la Congettura di Goldbach. Edito in Italia da Bompiani, esso narra della discesa nella follia di tale Petros Papachristos, immaginario zio del narratore ossessionato dalla ricerca della soluzione al problema.

Dante, Swift, Goethe e la matematica

2008-08-29T10:35:00.007+02:00

Cos'hanno in comune i tre (grandi) autori citati nel titolo? Ebbene, nelle opere di tutti e tre la matematica viene utilizzata, in maniera del tutto naturale, per arricchire il discorso (magari approfondirò in qualche post successivo).
Questo (e molto altro) ha raccontato Bruno D'Amore nel corso di un'interessantissima conferenza (diretta al grande pubblico) proposta ai margini del terzo Convegno di Didattica della Matematica organizzato a Locarno dall'ASP, il cui tema ("Matematica dappertutto") mi ha reso quasi obbligatorio partecipare, visto il sottotitolo di questo blog. In modo piacevole, con uno stile molto personale e ricco di ironia, l'oratore ha intrattenuto per un'oretta i presenti, cercando di mostrare come i luoghi comuni che descrivono la disciplina matematica come arida e lontana dalla "cultura" siano in realtà infondati. Mi è piaciuto particolarmente l'accenno alla "tabellina della strega" del Faust di Goethe e alle maldestre interpretazioni che ne hanno dato alcuni critici, segno che dalla matematica non si può prescindere nemmeno in ambito letterario.
A proposito dell'accenno faustiano, qui è possibile visionare un'animazione in cui viene mostrato come la menzionata "tabellina" (o Hexeneinmaleins) rappresenti in realtà una guida alla costruzione di un quadrato magico di ordine 3.

Se ne parla anche...

2008-08-23T19:08:00.007+02:00

... all'inferno (grazie a Laura per il titolo). Del tema del post precedente, intendo (il corso per abilitare docenti del primario e della scuola dell'infanzia all'insegnamento della matematica). Infatti il quindicinale satirico Il diavolo ha dedicato all'argomento la vignetta qui riprodotta.

Non so a voi, ma a me sembra simpatica (con tutto il rispetto, comunque, per chi decide di accollarsi l'onerosa formazione supplementare).

Quo vadis matematica?

2008-08-18T08:08:00.008+02:00

Nella sua emissione del 24 luglio (data un po' troppo estiva per parlare di scuola...), la trasmissione Falò della RTSI si è occupata di insegnamento della matematica. In particolare si è parlato della (ormai quasi) cronica scarsità di laureati disposti ad insegnare matematica a livello di Scuola Media, e della controversa proposta di far accedere a tale insegnamento docenti della scuola primaria e dell'infanzia con un corso integrativo di due anni. Due cose mi hanno colpito, in particolare: il fatto che solo 1/6 (un sesto!) degli insegnanti di matematica del settore medio ha una laurea specifica, e l'atteggiamento dell'Ospite in studio, da cui traspare una scarsa considerazione nei confronti di chi decide di dedicarsi all'insegnamento (che sembrerebbe venire invitato a trovare altrove "soddisfazioni personali"...).
La trasmissione è visionabile per intero a partire da qui. Tra i link presenti sulla pagina di presentazione manca (è una svista??) quello relativo alla Commissione di Matematica della Svizzera Italiana, dove è possibile leggere una presa di posizione sul progetto in questione.

Altre simmetrie

2008-08-17T15:37:00.005+02:00

Come Il disordine perfetto (di cui ho già parlato), anche il bel libro dell'astrofisico statunitense di origine rumena Mario Livio L'equazione impossibile affronta con un linguaggio accessibile il tema dell'algebra applicata allo studio della simmetria. I due libri, anche se simili, possono essere in parte considerati come complementari: in particolare, l'opera di Livio (che precede quella di DuSautoy) si concentra maggiormente sui due personaggi chiave della nascita dell'algebra moderna, Abel (il "matematico povero") e Galois (il "matematico romantico") e cerca di essere più matematicamente esplicita nella descrizione della struttura di gruppo. Inoltre Livio si dilunga maggiormente sul ruolo della simmetria nella fisica (il suo campo d'azione!), descrivendone il ruolo nell'ambito della teoria della relatività (speciale e generale) e della meccanica quantistica.
Si tratta quindi di un lavoro forse meno spettacolare e pirotecnico di Il disordine perfetto, ma altrettanto serio e valido. Non sapendo quale scegliere, consiglio la lettura di entrambi.

Gianni, Pinotto e la matematica

2008-08-07T12:57:00.007+02:00

Per caso, su YouTube mi sono imbattuto nel seguente sketch del duo Abbott & Costello (la più celebre coppia comica statunitense degli anni '40, nota in italia come Gianni e Pinotto), tratto dal lugometraggio Little Giant (1946):

Si tratta di una "dimostrazione" dell'uguaglianza 13 x 7 = 28 , ottenuta in tre diversi modi rimescolando le cifre e abusando (in modo abbastanza ingegnoso) della notazione posizionale, come spiegato qui.
La stessa scenetta è presente anche in un film precedente del duo, In the Navy (1941). Fu proprio la continua riproposizione degli stessi sketch (comune a molti comici televisivi) a decretare, dopo la metà degli anni '40, il calo di popolarità dei due, a favore degli astri nascenti Martin e Lewis.

La geometria non è un reato

2008-08-06T15:06:00.006+02:00

Harold Scott MacDonald "Donald" Coxeter (1907-2003) è stato senz'altro uno dei matematici più importanti del XX secolo. In un periodo in cui la geometria andava perdendo quasi ogni connotazione "visibile", concentrandosi su aspetti sempre più astratti e formali (si pensi ad esempio alla geometria algebrica, mia croce e delizia, e al concetto di schema introdotto dal grande Alexander Grothendieck), egli seppe riaffermare con successo il valore della rappresentazione degli oggetti di studio, mostrando che la geometria "classica" aveva ancora molte frecce al suo arco.

La vicenda umana di Coxeter, lunga e produttiva (partecipò al suo ultimo congresso e scrisse l'ultimo saggio all'età di 96 anni, decisamente in controtendenza dato che spesso l'ispirazione di un matematico si esaurisce a 40!) viene ben descritta nella biografia Il re dello spazio infinito, della giornalista canadese Siobhan Roberts (edita in Italia da Rizzoli). Tra le altre cose, in essa viene ben messa in evidenza la "battaglia" combattuta tra il geometrico Coxeter e l'algebrico Bourbaki (come evidenzia Marcus DuSautoy in una sua recensione per il Guardian), terminata con una concessione di quest'ultimo al genio coxeteriano (l'inclusione dei suoi diagrammi nel libro VIII degli Eléments de mathématique). Nella seconda parte del libro l'autrice si sofferma poi sulle applicazioni pratiche ispirate dalle idee di Coxeter (una per tutte: le cupole geodetiche realizzate dall'eclettico architetto Richard Buckminster Fuller, dalla struttura simile ai composti del carbonio noti oggi come fullereni o "Buckyballs") e sulla sua amicizia con M.C. Escher , nelle cui celeberrime opere la geometria (la simmetria, in particolare) riveste un ruolo fondamentale.

Oltre al libro della Roberts, in questo momento ho sottomano una raccolta di dodici saggi originali di Coxeter (raccolti in The Beauty of Geometry, nell'edizione economica Dover). Non mi sono soffermato sui dettagli dei singoli articoli (occorrerebbe investire parecchio tempo: si tratta sì di geometria elementare, ma in matematica elementare non è sinonimo di semplice), ma anche solo sfogliando velocemente l'opera ci si può fare un'idea del "sapore" dell'opera coxeteriana: le pagine sono ricoperte di diagrammi, perfino di fotografie, e di calcoli espliciti, in contrasto con qualsiasi pubblicazione geometrica "moderna" dove tutto è algebrico e formale (ma, devo confessare, più vicino alla mia sensibilità, forse "corrotta" da anni di frequentazioni grothendieckiane).

Teoremi assassini

2008-06-30T14:42:00.007+02:00

Giusto ieri ho terminato la lettura di Delitti pitagorici, romanzo scritto dal dottore in matematica e insegnante liceale Tèfkros Michailìdis recentemente pubblicato in italiano da Sonzogno. Si tratta di un giallo a sfondo matematico ambientato nei primi decenni del '900, imperniato sulla figura di un anonimo professore ossessionato dal "secondo problema di Hilbert" (che riguarda la non-contraddittorietà di un sistema formale). La parte secondo me più godibile della narrazione è quella ambientata a parigi nel 1900 durante il secondo congresso mondiale di matematica (in cui Hilbert, appunto, enunciò i suoi 23 problemi), dove i protagonisti della vicenda interagiscono con i grandi matematici del tempo, figure quasi mitiche i cui risultati sono oggi il piatto forte dei corsi universitari (come Hadamard, De la Vallée-Poussin, Peano, Russell, Frege, Hermite, Lindemann, Minkowski, Jordan, Poincaré e Klein, oltre ovviamente allo stesso Hilbert). Divertente è anche l'inclusione nella vicenda del pittore Pablo Ruiz (più tardi noto con il cognome della madre, Picasso).

Nel corso della narrazione, per mezzo di alcuni interludi, il destino del povero (co-) protagonista viene presentato in parallelo a quello leggendario di Ippaso di Metaponto, bandito (e, forse, assassinato) dalla scuola pitagorica per aver divulgato l'erroneità del motto "tutto è numero". Si tratta di un escamotage interessante, che rovina però (quasi) tutta la suspence, rendendo un po' vano il depistaggio tentato dall'autore nella seconda metà del libro. Tale pecca è però riscattata dall'amara ironia dell'epilogo, dove la vicenda si intreccia con quella che è forse stata la più clamorosa scoperta della matematica del XX secolo.

Non si tratta quindi certamente di un romanzo perfetto, ma comunque di una lettura consigliata a tutti quelli che, come me, hanno trovato un po' indigesta la parte narrativa del Teorema del pappagallo. Delitti pitagorici contiene senz'altro molta meno matematica di quest'ultimo, ma presenta un intreccio assai più plausibile e una collezione di personaggi decisamente più credibili (da notare che Michailìdis è proprio il traduttore in greco di Guedj, dai cui "errori" ha forse saputo trarre profitto).